Tiro parabólico 24
Desde el suelo se lanza una piedra, con velocidad v0 y ángulo α sobre la horizontal, cuando hay un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración igual a g/2.
Sabiendo que tg α = 2, determina:
a) Altura máxima que alcanza y velocidad en ese momento.
b) Máximo desplazamiento horizontal.
c) Dónde llegará al suelo y velocidad de llegada.
Solución:
Datos: v0; α; a = g/2; tg α = 2
Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.
Ecuaciones del movimiento:
vx = v0 cos α – a t vy = v0 sen α – g t
x = v0 t cos α – (1/2) a t2 y = v0 t sen α – (1/2) g t2
a) El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más alto que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.
0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α
t = v0 sen α/g
y = v0 (v0 sen α/g) sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2
y = (v02 sen2 α/g) – (v02 sen2 α/2g)
y = (v02 sen2 α/2g)
Mediante la siguiente transformación trigonométrica se obtiene la altura máxima.
y = (v02/2g)·[tg2 α/(tg2 α + 1)]
y = (v02/2g)·[22/(22 + 1)]
y = (v02/2g)·(4/5) = (2/5)·(v02/g) = 0,4·(v02/g)
vx = v0 cos α – a (v0 sen α/g)
vx = v0 [cos α – (a sen α/g)]
vx = v0 cos α [1 – (a sen α/g cos α)]
vx = v0 cos α {1 – [(g/2) sen α/g cos α]}
vx = v0 cos α [1 – (1/2) tg α]
vx = v0 cos α [1 – (1/2)·2] = 0
Es chocante que al llegar a la altura máxima la piedra se detiene. Ni sube, ni avanza.
b) El alcance se consigue en y = 0, por tanto:
v0 t sen α – (1/2) g t2 = 0 → t·[v0 sen α – (1/2) g t] = 0
Primera solución:
t = 0
Corresponde al momento de la salida.
Segunda solución:
v0 sen α – (1/2) g t = 0 → (1/2) g t = v0 sen α
t = 2v0 sen α/g
x1 = v0 (2v0 sen α/g) cos α – (1/2) a (2v0 sen α/g)2 =
= (2v02 sen α·cos α/g) – (2v02 a sen2 α/g2) =
= (2v02 sen α/g)·[cos α – (a sen α/g)] =
= (2v02 sen α/g)·cos α·[1 – (a sen α/g cos α)] =
= (2v02 sen α/g)·cos α·[1 – (a/g)·tg α)] =
= (2v02 sen α· cos α/g)·{1 – [(g/2)/g]·2} =
= (2v02 sen α· cos α/g)·[1 – (1/2)·2] = 0
Velocidad de llegada:
vx = v0 cos α – a (2v0 sen α/g) = v0 cos α·[1 – (2a sen α/g cos α)] =
= v0 cos α·[1 – (2a/g)·tg α] = v0 cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} =
= v0 cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} = v0 cos α·(1 – 2) = –v0 cos α
vy = v0 sen α – g (2v0 sen α/g) = –v0 sen α
Llega al suelo en el mismo sitio desde donde salió y lo hace con una velocidad igual y opuesta.
Observación:
La aceleración resultante de las aceleraciones de la gravedad y del viento está alineada con la velocidad (En la figura tg β = 2, luego β = α). Entonces la piedra sólo tiene aceleración tangencial de frenado. Avanza en línea recta hasta detenerse y luego retrocede por el mismo camino volviendo a pasar por el punto de partida.