Tiro parabólico 24

 

Desde el suelo se lanza una piedra, con velocidad v0 y ángulo α sobre la horizontal, cuando hay un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración igual a g/2.
Sabiendo que tg α = 2, determina:

a)  Altura máxima que alcanza y velocidad en ese momento.

b)  Máximo desplazamiento horizontal.

c)  Dónde llegará al suelo y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: v0; α; a = g/2; tg α = 2

Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.

TIRO PARABOLICO 24,1

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α – a t             vy = v0 sen α – g t

x = v0 t cos α – (1/2) a t2             y = v0 t sen α – (1/2) g t2

a)  El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más alto que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.

0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α

t = v0 sen α/g

y = v0 (v0 sen α/g) sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2

y = (v02 sen2 α/g) – (v02 sen2 α/2g)

y = (v02 sen2 α/2g)

Mediante la siguiente transformación trigonométrica se obtiene la altura máxima.

TIRO PARABOLICO 24,2

y = (v02/2g)·[tg2 α/(tg2 α + 1)]

y = (v02/2g)·[22/(22 + 1)]

y = (v02/2g)·(4/5) = (2/5)·(v02/g) = 0,4·(v02/g)

vx = v0 cos α – a (v0 sen α/g)

vx = v0 [cos α – (a sen α/g)]

vx = v0 cos α [1 – (a sen α/g cos α)]

vx = v0 cos α {1 – [(g/2) sen α/g cos α]}

vx = v0 cos α [1 – (1/2) tg α]

vx = v0 cos α [1 – (1/2)·2] = 0

Es chocante que al llegar a la altura máxima la piedra se detiene. Ni sube, ni avanza.

b)  El alcance se consigue en y = 0, por tanto:

v0 t sen α – (1/2) g t2 = 0   → t·[v0 sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v0 sen α – (1/2) g t = 0 → (1/2) g t = v0 sen α

t = 2v0 sen α/g

x1 = v0 (2v0 sen α/g) cos α – (1/2) a (2v0 sen α/g)2 =

= (2v02 sen α·cos α/g) –  (2v02 a sen2 α/g2) =

= (2v02 sen α/g)·[cos α –  (a sen α/g)] =

= (2v02 sen α/g)·cos α·[1 –  (a sen α/g cos α)] =

= (2v02 sen α/g)·cos α·[1 –  (a/g)·tg α)] =

= (2v02 sen α· cos α/g)·{1 – [(g/2)/g]·2} =

= (2v02 sen α· cos α/g)·[1 – (1/2)·2] = 0

Velocidad de llegada:

vx = v0 cos α – a (2v0 sen α/g) = v0 cos α·[1 – (2a sen α/g cos α)] =

= v0 cos α·[1 – (2a/g)·tg α] = v0 cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} =

= v0 cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} = v0 cos α·(1 – 2) = –v0 cos α

vy = v0 sen α – g (2v0 sen α/g) = –v0 sen α

TIRO PARABOLICO 24,3

Llega al suelo en el mismo sitio desde donde salió y lo hace con una velocidad igual y opuesta.

Observación:

TIRO PARABOLICO 24,4

La aceleración resultante de las aceleraciones de la gravedad y del viento está alineada con la velocidad (En la figura tg β = 2, luego β = α). Entonces la piedra sólo tiene aceleración tangencial de frenado. Avanza en línea recta hasta detenerse y luego retrocede por el mismo camino volviendo a pasar por el punto de partida.

 

 

 


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