El Sapo Sabio

 

Desde el suelo se lanza una piedra, con velocidad v₀ y ángulo α sobre la horizontal, cuando hay un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración igual a g/2.
Sabiendo que tg α = 2, determina:

a)  Altura máxima que alcanza y velocidad en ese momento.

b)  Máximo desplazamiento horizontal.

c)  Dónde llegará al suelo y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: v₀; α; a = g/2; tg α = 2

Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α – a t             v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α – (1/2) a t²             y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más alto que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α

t = v₀ sen α/g

y = v₀ (v₀ sen α/g) sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²

y = (v₀² sen² α/g) – (v₀² sen² α/2g)

y = (v₀² sen² α/2g)

Mediante la siguiente transformación trigonométrica se obtiene la altura máxima.

y = (v₀²/2g)·[tg² α/(tg² α + 1)]

y = (v₀²/2g)·[2²/(2² + 1)]

y = (v₀²/2g)·(4/5) = (2/5)·(v₀²/g) = 0,4·(v₀²/g)

v_x = v₀ cos α – a (v₀ sen α/g)

v_x = v₀ [cos α – (a sen α/g)]

v_x = v₀ cos α [1 – (a sen α/g cos α)]

v_x = v₀ cos α {1 – [(g/2) sen α/g cos α]}

v_x = v₀ cos α [1 – (1/2) tg α]

v_x = v₀ cos α [1 – (1/2)·2] = 0

Es chocante que al llegar a la altura máxima la piedra se detiene. Ni sube, ni avanza.

b)  El alcance se consigue en y = 0, por tanto:

v₀ t sen α – (1/2) g t² = 0   → t·[v₀ sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v₀ sen α – (1/2) g t = 0 → (1/2) g t = v₀ sen α

t = 2v₀ sen α/g

x₁ = v₀ (2v₀ sen α/g) cos α – (1/2) a (2v₀ sen α/g)² =

= (2v₀² sen α·cos α/g) –  (2v₀² a sen² α/g²) =

= (2v₀² sen α/g)·[cos α –  (a sen α/g)] =

= (2v₀² sen α/g)·cos α·[1 –  (a sen α/g cos α)] =

= (2v₀² sen α/g)·cos α·[1 –  (a/g)·tg α)] =

= (2v₀² sen α· cos α/g)·{1 – [(g/2)/g]·2} =

= (2v₀² sen α· cos α/g)·[1 – (1/2)·2] = 0

Velocidad de llegada:

v_x = v₀ cos α – a (2v₀ sen α/g) = v₀ cos α·[1 – (2a sen α/g cos α)] =

= v₀ cos α·[1 – (2a/g)·tg α] = v₀ cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} =

= v₀ cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} = v₀ cos α·(1 – 2) = –v₀ cos α

v_y = v₀ sen α – g (2v₀ sen α/g) = –v₀ sen α

Llega al suelo en el mismo sitio desde donde salió y lo hace con una velocidad igual y opuesta.

Observación:

La aceleración resultante de las aceleraciones de la gravedad y del viento está alineada con la velocidad (En la figura tg β = 2, luego β = α). Entonces la piedra sólo tiene aceleración tangencial de frenado. Avanza en línea recta hasta detenerse y luego retrocede por el mismo camino volviendo a pasar por el punto de partida.