Tiro parabólico 21
Desde el suelo se lanza una piedra con velocidad 10 m/s formando 50º sobre la horizontal, pero resulta que sopla un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración de 5 m/s2. Determina:
a) Posición correspondiente al máximo desplazamiento vertical.
b) Posición correspondiente al máximo desplazamiento horizontal.
c) Alcance y velocidad de llegada al suelo.
Solución:
Datos: v0 = 10 m/s; α = 50º; a = 5 m/s2; g = 9,8 m/s2
Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.
Ecuaciones del movimiento:
vx = v0 cos α – a t vy = v0 sen α – g t
x = v0 t cos α – (1/2) a t2 y = v0 t sen α – (1/2) g t2
a) El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más arriba que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.
0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α
t = v0 sen α/g
x = v0 (v0 sen α/g) cos α – (1/2) a (v0 sen α/g)2
x = (v02 sen α· cos α /g)– (a v02 sen2 α/2g2)
x = (v02 sen α/g)·[cos α – (a sen α/2g)]
y = v0 (v0 sen α/g) sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2
y = (v02 sen2 α/g) – (v02 sen2 α/2g)
y = v02 sen2 α/2g
La posición correspondiente al máximo desplazamiento vertical está en (3,5; 2,99) metros.
b) La posición donde se invierte el movimiento marca el máximo desplazamiento horizontal, es decir, cuando se anula la velocidad horizontal.
0 = v0 cos α – a t → a t = v0 cos α
t = v0 cos α/a
x1 = v0 (v0 cos α/a) cos α – (1/2) a (v0 cos α/a)2
x1 = (v02 cos2 α/a) – (v02 cos2 α/2a)
x1 = v02 cos2 α/2a
y1 = v0 (v0 cos α/a) sen α – (1/2) g (v0 cos α/a)2
y1 = (v02 cos α· sen α/a) – (g v02 cos2 α/2a2)
y1 = (v02 cos α/a)·[sen α – (g cos α/2a)]
La posición correspondiente al máximo desplazamiento horizontal está en (4,13; 1,75) metros, más a la derecha y más abajo que la correspondiente al máximo desplazamiento vertical.
c) El alcance se consigue en y = 0, por tanto:
0 = v0 t sen α – (1/2) g t2 → (1/2) g t2 – v0 t sen α = 0
t·[(1/2) g t – v0 sen α] = 0
Primera solución:
t = 0
Corresponde al momento de la salida.
Segunda solución:
(1/2) g t – v0 sen α = 0 → (1/2) g t = v0 sen α
t = 2v0 sen α/g
x2 = v0 (2v0 sen α/g) cos α – (1/2) a (2v0 sen α/g)2
x2 = (2v02 sen α·cos α/g) – (2v02 a sen2 α/g2)
x2 = (2v02 sen α/g)·[cos α – (a sen α/g)]
Velocidad de llegada:
vx = v0 cos α – a (2v0 sen α/g) = v0 [cos α – (2a sen α/g)]
vy = v0 sen α – g (2v0 sen α/g) = –v0 sen α
Se puede observar que la piedra llega al suelo moviéndose hacia la izquierda y hacia abajo (α’ = 80º, tercer cuadrante)