El Sapo Sabio

 

Desde el suelo se lanza una piedra con velocidad 10 m/s formando 50º sobre la horizontal, pero resulta que sopla un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración de 5 m/s². Determina:

a)  Posición correspondiente al máximo desplazamiento vertical.

b)  Posición correspondiente al máximo desplazamiento horizontal.

c)  Alcance y velocidad de llegada al suelo.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 10 m/s; α = 50º; a = 5 m/s²; g = 9,8 m/s²

Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α – a t             v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α – (1/2) a t²             y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más arriba que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α

t = v₀ sen α/g

x = v₀ (v₀ sen α/g) cos α – (1/2) a (v₀ sen α/g)²

x = (v₀² sen α· cos α /g)– (a v₀² sen² α/2g²)

x = (v₀² sen α/g)·[cos α – (a sen α/2g)]

y = v₀ (v₀ sen α/g) sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²

y = (v₀² sen² α/g) – (v₀² sen² α/2g)

y = v₀² sen² α/2g

La posición correspondiente al máximo desplazamiento vertical está en (3,5; 2,99) metros.

b)  La posición donde se invierte el movimiento marca el máximo desplazamiento horizontal, es decir, cuando se anula la velocidad horizontal.

0 = v₀ cos α – a t → a t = v₀ cos α

t = v₀ cos α/a

x₁ = v₀ (v₀ cos α/a) cos α – (1/2) a (v₀ cos α/a)²

x₁ = (v₀² cos² α/a) – (v₀² cos² α/2a)

x₁ = v₀² cos² α/2a

y₁ = v₀ (v₀ cos α/a) sen α – (1/2) g (v₀ cos α/a)²

y₁ = (v₀² cos α· sen α/a) – (g v₀² cos² α/2a²)

y₁ = (v₀² cos α/a)·[sen α – (g cos α/2a)]

La posición correspondiente al máximo desplazamiento horizontal está en (4,13; 1,75) metros, más a la derecha y más abajo que la correspondiente al máximo desplazamiento vertical.

c)  El alcance se consigue en y = 0, por tanto:

0 = v₀ t sen α – (1/2) g t² → (1/2) g t² – v₀ t sen α = 0

t·[(1/2) g t – v₀ sen α] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

(1/2) g t – v₀ sen α = 0 → (1/2) g t = v₀ sen α

t = 2v₀ sen α/g

x₂ = v₀ (2v₀ sen α/g) cos α – (1/2) a (2v₀ sen α/g)²

x₂ = (2v₀² sen α·cos α/g) – (2v₀² a sen² α/g²)

x₂ = (2v₀² sen α/g)·[cos α – (a sen α/g)]

Velocidad de llegada:

v_x = v₀ cos α – a (2v₀ sen α/g) = v₀ [cos α – (2a sen α/g)]

v_y = v₀ sen α – g (2v₀ sen α/g) = –v₀ sen α

Se puede observar que la piedra llega al suelo moviéndose hacia la izquierda y hacia abajo (α’ = 80º, tercer cuadrante)