El Sapo Sabio

 

Un cañón, que está colocado en la ladera de un monte de inclinación j, dispara un proyectil con velocidad v₀ en dirección perpendicular a la ladera. Determina el alcance del proyectil.

 

 

Solución:

        

Ecuaciones del movimiento:

v_x = –g t sen φ                 v_y = v₀ – g t cos φ

x = –(1/2) g t² sen φ                   y = v₀ t – (1/2) g t² cos φ

Los ángulos j son iguales por tener sus lados perpendiculares.

El alcance se consigue cuando y = 0, por tanto:

0 = v₀ t – (1/2) g t² cos φ

(1/2) g t² cos φ – v₀ t = 0

t·[(1/2) g t cos φ – v₀] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al instante del disparo.        

Segunda solución:

(1/2) g t cos φ – v₀ = 0

t  = 2v₀/g cos φ

x = –(1/2) g (2v₀/g cos φ)² sen φ =

= –(1/2) g (4v₀²/g² cos² φ) sen φ =

= –2v₀² sen φ/g cos² φ

El alcance es una distancia y por tanto debe darse sin signo, luego (el signo negativo indica el proyectil impacta al a izquierda del punto de partida):

L = 2v₀² sen φ/g cos² φ