Tiro parabólico 19

 

TIRO PARABOLICO 19,1

Un cañón, que está colocado al pie de una rampa de ángulo φ, dispara un proyectil con velocidad v0 formando ángulo α con la rampa. Determina a qué distancia del cañón chocará con la rampa (alcance)

 

 

Solución:

TIRO PARABOLICO 19,2

cos φ = x/L → L = x/cos φ

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos β           vy = v0 sen β – g t

x = v0 t cos β          y = v0 t sen β – (1/2) g t2

siendo:

β = α + φ     y        tg φ = y/x

tg φ = [v0 t sen β – (1/2) g t2]/v0 t cos β

v0 t cos β· tg φ = v0 t sen β – (1/2) g t2

(1/2) g t2 + v0 t cos β· tg φ – v0 t sen β = 0

(1/2) g t2 + v0 (cos β· tg φ – sen β) t = 0

t [(1/2) g t + v0 (cos β· tg φ – sen β)] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento del disparo.     

Segunda solución:

(1/2) g t + v0 (cos β· tg φ – sen β) = 0

(1/2) g t = –v0 (cos β· tg φ – sen β)

t = 2v0 (sen β – cos β·tg φ)/g

x = v0 [2v0 (sen β – cos β·tg φ)/g] cos β 

x = (2v02/g) (sen β – cos β·tg φ) cos β

L = [(2v02/g) (sen β – cos β·tg φ) cos β]/cos φ  

L = 2v02 (sen β – cos β·tg φ) cos β/g·cos φ

Ahora debemos tener en cuenta que:

sen β = sen (α + φ) = sen α·cos φ + sen φ·cos α

cos β = cos (α + φ) = cos α·cos φ – sen α·sen φ

luego:

TIRO PARABOLICO 19,3

Se puede comprobar que este resultado es correcto haciendo φ = 0, pues se obtiene la ecuación del alcance de un tiro parabólico cuando el suelo es horizontal.

Este problema también se puede hacer tomando los ejes de coordenadas, de forma que el eje X sea paralelo al plano:

TIRO PARABOLICO 19,4

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α – g t sen φ              vy = v0 sen α – g t cos φ

x = v0 t cos α – (1/2) g t2 sen φ             y = v0 t sen α – (1/2) g t2 cos φ

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cuando el proyectil choca con la rampa, y = 0, luego:

0 = v0 t sen α – (1/2) g t2 cos φ

(1/2) g t2 cos φ – v0 t sen α

t [(1/2) g t cos φ – v0 sen α] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento del disparo.     

Segunda solución:

(1/2) g t cos φ – v0 sen α = 0

(1/2) g t cos φ = v0 sen α

t = 2v0 sen α/g cos φ

x = v0 (2v0 sen α/g cos φ) cos α – (1/2) g (2v0 sen α/g cos φ)2 sen φ =

= (2v02 sen α·cos α/g cos φ) – (2v02 sen2 α· sen φ/g cos2 φ) =

= (2v02 sen α·cos α/g cos φ) – (2v02 sen2 α· tg φ/g cos φ) =

= (2v02 sen α·cos α – 2v02 sen2 α· tg φ)/g cos φ =

= (2v02/g)·[(sen α·cos α – sen2 α· tg φ)/cos φ] =

= (2v02/g)·sen α·[(cos α – sen α· tg φ)/cos φ]

Ahora x es la distancia del punto de partida al punto de impacto.

 

 

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