Tiro parabólico 18

 

Desde el suelo se lanza un proyectil con velocidad 100 m/s, formando 51º sobre la horizontal. Halla:

a)  Posición, velocidad y componentes intrínsecas de la aceleración al cabo de 4 segundos.

b)  Cuándo estará moviéndose en dirección 45º sobre la horizontal.

c)  Altura máxima que alcanza y recorrido horizontal hasta conseguirla.

d)  En qué momento la velocidad será 75 m/s.

e)  Tiempo que tarda en llegar al suelo, alcance y velocidad de llegada.

 

 

Solución:      

Datos: v0 = 100 m/s; α =  51º; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 18,1

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α           vy = v0 sen α – g t

x =  v0 t cos α         y = v0 t sen α – (1/2) g t2

a)  Dato: t = 4 s

Vector posición:

r = x i + y j

x = (100 m/s)·4 s·cos 51º = 252 m

y = (100 m/s)·4 s·sen 51º – (1/2)·(9,8 m/s2)·(4 s)2 = 232 m

r = (252 i + 232 j) m

El proyectil está 252 metros a la derecha y 232 metros por encima del origen. Advierte que se sabe donde está, pero no el espacio (longitud de trayectoria) que ha recorrido.

Vector velocidad:

v = vx i + vy j

vx = (100 m/s)·cos 51º = 62,9 m/s

vy = (100 m/s)·sen 51º – (9,8 m/s2)·4 s  = 38,5 m/s

v = (62,9 i + 38,5 j) m/s

Módulo:

TIRO PARABOLICO 18,2

Dirección:

TIRO PARABOLICO 18,3

cos α = vx/vy = (62,9 m/s)/(73,7 m/s)

TIRO PARABOLICO 18,4

El proyectil se mueve a 73,7 m/s en dirección 31,4º sobre la horizontal.

Componentes intrínsecas de la aceleración:

TIRO PARABOLICO 18,5

Las componentes intrínsecas de la aceleración son las componentes de la aceleración (g), en la dirección de la velocidad (tangencial) y su perpendicular (normal).

TIRO PARABOLICO 18,6

Aceleraciones tangencial y normal:

at = g sen α1 = (9,8 m/s2)·sen 31,4º =5,1 m/s2

an = g cos α1 = (9,8 m/s2)·cos 31,4º = 8,4 m/s2

Nota: Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

El móvil curva su trayectoria y pierde rapidez. La aceleración tangencial tiene el sentido opuesto al de la velocidad.

b)  Dato: α2 = 45º

TIRO PARABOLICO 18,7

tg α2 = vy/vx = (v0 sen α – g t)/(v0 cos α)

v0 cos α· tg α2 = v0 sen α – g t

g t = v0 sen α – v0 cos α· tg α2

t = v0·(sen α – cos α· tg α2)/g

t = [(100 m/s)·(sen 51º – cos 51º· tg 45º)]/(9,8 m/s2) = 1,5 s

c)  La altura máxima se alcanza cuando vy = 0, por tanto:

0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α

t = v0 sen α/g

y = v0 (v0 sen α/g)·sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2

y = (v02 sen2 α/g) – (1/2) (v02 sen2 α/g)

y = (v0 sen α)2/2g

y = [(100 m/s)·sen 51º]2/2·(9,8 m/s2) = 308 m

Recorrido horizontal:

x =  v0·(v0 sen α/g)·cos α

x = v02 sen α·cos α/g

x = [(100 m/s)2·sen 51º·cos 51º]/(9,8 m/s2) = 499 m

La altura máxima es de 308 metros por encima del observador y se alcanza a 499 metros a su derecha.

d)  Dato: v = 75 m/s

TIRO PARABOLICO 18,8

v2 = (v0 cos α)2 + (v0 sen α – g t)2

v2 = v02 cos2 α + v02 sen2 α – 2v0 sen α· g t + g2 t2

v2 = v02 (cos2 α + sen2 α) – 2v0 sen α· g t + g2 t2

v2 = v02 – 2v0 sen α· g t + g2 t2

g2 t2 – 2v0 sen α· g t + (v02 – v2) = 0

TIRO PARABOLICO 18,9

Primera solución:

TIRO PARABOLICO 18,10

Segunda solución:

TIRO PARABOLICO 18,11

Para interpretar las soluciones halladas, hay que conocer, en cada caso, los valores de todas las variables.

Si t = 3,77 s:

vx = (100 m/s)·cos 51º = 62,9 m/s

vy = (100 m/s)·sen 51º – (9,8 m/s2)·3,77 s = 40,8 m/s

x = (100 m/s)·3,77 s·cos 51º = 237 m

y = (100 m/s)·3,77 s·sen 51º – (1/2)·(9,8 m/s2)·(3,77 s)2 = 223 m

El proyectil está a 237 metros a la derecha del observador, 223 metros por encima y subiendo.

Si t = 12,1 s:

vx = (100 m/s)·cos 51º = 62,9 m/s

vy = (100 m/s)·sen 51º – (9,8 m/s2)·12,1 s = –40,8 m/s

x = (100 m/s)·12,1 s·cos 51º = 761 m

y = (100 m/s)·12,1 s·sen 51º – (1/2)·(9,8 m/s2)·(12,1 s)2 = 223 m

El proyectil está a 761 m a la derecha del observador, 223 m por encima y bajando.

TIRO PARABOLICO 18,12

Hay dos posiciones donde el módulo de la velocidad es el mismo.

Las abscisas de dichas posiciones equidistan de la abscisa correspondiente a la altura máxima.

e)  Cuando el proyectil llegue al suelo y = 0, por tanto:

0 = v0 t sen α – (1/2) g t2

(1/2) g t2 – v0 t sen α = 0

g t2 – 2v0 t sen α = 0

t·(g t – 2v0 sen α) = 0

Primera solución:

t = 0

Segunda solución:

g t – 2v0 sen α = 0

g t = 2v0 sen α

t =  2v0 sen α/g

La primera solución corresponde a la salida del proyectil.

x =  v0 (2v0 sen α/g) cos α

x =  2v02 sen α· cos α/g

Tiempo que tarda en llegar al suelo:

t = [2·(100 m/s)·sen 51º]/(9,8 m/s2) = 15,9 s

Alcance:

x = [2·(100 m/s)2·sen 51º·cos 51º]/(9,8 m/s2) = 998 m

El proyectil emplea 15,9 segundos en volver al suelo y lo hace a 998 metros a la derecha del observador.

Velocidad de llegada:

vx = v0 cos α

vx = v0 sen α – g·(2v0 sen α/g) = –v0 sen α

TIRO PARABOLICO 18,13

Dirección:

TIRO PARABOLICO 11, 3

TIRO PARABOLICO 18,15

El proyectil llega al suelo con la misma velocidad que salió y dirección de signo opuesto.

Este resultado no se puede generalizar, pues la velocidad de llegada al suelo será igual a la de salida únicamente cuando el proyectil salga del suelo. Lo que sí es cierto es que hay simetría en el movimiento vertical, es decir, sí se pasa dos veces por la misma altura, las velocidades correspondientes serán iguales en módulo y tendrán la dirección de signo contrario.

 

 


Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo