El Sapo Sabio

 

Desde el tejado de un edificio de 10 metros de alto, se lanza una piedra a 5 m/s en dirección 30º bajo la horizontal. Determina: 

a)  Posición, velocidad y componentes intrínsecas de la aceleración a cabo de 1 segundo.

b)  En qué momento su velocidad será 10 m/s.

c)  Cuándo estará moviéndose en dirección 20º bajo la horizontal.

d)  Tiempo que tarda en llegar al suelo, alcance y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: y₁ = –10 m; v₀ = 5 m/s; α = 30º; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = –v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = –v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  Dato: t = 1 s

Vector posición:

r = x i + y j

x = (5 m/s)·1 s· cos 30º = 4,33 m

y = –(5 m/s)· 1 s·sen 30º – (1/2)·(9,8 m/s²)·(1 s)² = –7,40 m

r = (4,33 i – 7,40 j) m

La piedra está a 4,33 metros a la derecha y a 7,40 metros por debajo del origen.

Advierte que se sabe donde se encuentra la piedra, pero no el espacio (longitud de trayectoria) que ha recorrido.

Vector velocidad:

v = v_x i + v_y j

v_x = (5 m/s)·cos 30º = 4,33 m/s

v_y = –(5 m/s)·sen 30º – (9,8 m/s²)·1 s = –12,13 m/s

v = (4,33 i – 12,13 j) m/s

Módulo:

Dirección:

El ángulo positivo no es válido, ya que el sentido del arco es el de las agujas del reloj.

La piedra se mueve a 13 m/s en dirección 70,5º bajo la horizontal.

Componentes intrínsecas de la aceleración:

Las componentes intrínsecas de la aceleración son las componentes de la aceleración (g), en la dirección de la velocidad (tangencial) y su perpendicular (normal).

Aceleraciones tangencial y normal:

a_t = g sen α’ = (9,8 m/s²)·sen 70,5º = 9,24 m/s²

a_n = g cos α’ = (9,8 m/s²)·cos 70,5º = 3,27 m/s²

Nota: Los segmentos del mismo color son perpendiculares, por tanto delimitan ángulos iguales.

La piedra curva su trayectoria y gana rapidez. La aceleración tangencial tiene el sentido de la velocidad.

b)  Dato: v = 10 m/s

v² = (v₀ cos α)² + (–v₀ sen α – g t)² 

v² = v₀² cos² α + v₀² sen² α + 2v₀ sen α·g t + g² t² 

v² = v₀² (cos² α + sen² α) + 2v₀ sen α·g t + g² t² 

v² = v₀² + 2v₀ g sen α·t + g² t² 

g² t² + 2v₀ g sen α·t + (v₀² – v²) = 0

La primera solución no es válida porque saldría un resultado negativo.

Segunda solución:

La velocidad de 10 m/s se consigue una sola vez, a los 0,66 segundos de iniciarse el movimiento.

c)  Dato: α₂ = 20º

El resultado negativo del tiempo indica que nunca la velocidad apuntará 20º por debajo de la horizontal.

La razón es evidente: en un tiro la inclinación de la velocidad siempre va disminuyendo y este movimiento empieza con la velocidad formando 30º por debajo de la horizontal, luego no puede pasar a 20º que sería aumentar (al estar por debajo de la horizontal, en realidad estamos trabajando con ángulos negativos).

d)  Cuando la piedra llegue al suelo y = –10 m

Tiempo que tarda en llegar al suelo:

La raíz negativa no vale porque se obtendría un tiempo negativo, por tanto:

Alcance:

 

La piedra tarda 1,20 segundos en llegar al suelo y lo hace a 5,18 m a la derecha del observador.
Velocidad de llegada:

 

La piedra llega al suelo con velocidad 14,86 m/s, en dirección 73º bajo la horizontal.