Tiro parabólico 17
Desde el tejado de un edificio de 10 metros de alto, se lanza una piedra a 5 m/s en dirección 30º bajo la horizontal. Determina:
a) Posición, velocidad y componentes intrínsecas de la aceleración a cabo de 1 segundo.
b) En qué momento su velocidad será 10 m/s.
c) Cuándo estará moviéndose en dirección 20º bajo la horizontal.
d) Tiempo que tarda en llegar al suelo, alcance y velocidad de llegada.
Solución:
Datos: y1 = –10 m; v0 = 5 m/s; α = 30º; g = 9,8 m/s2
Ecuaciones del movimiento:
vx = v0 cos α vy = –v0 sen α – g t
x = v0 t cos α y = –v0 t sen α – (1/2) g t2
a) Dato: t = 1 s
Vector posición:
r = x i + y j
x = (5 m/s)·1 s· cos 30º = 4,33 m
y = –(5 m/s)· 1 s·sen 30º – (1/2)·(9,8 m/s2)·(1 s)2 = –7,40 m
r = (4,33 i – 7,40 j) m
La piedra está a 4,33 metros a la derecha y a 7,40 metros por debajo del origen.
Advierte que se sabe donde se encuentra la piedra, pero no el espacio (longitud de trayectoria) que ha recorrido.
Vector velocidad:
v = vx i + vy j
vx = (5 m/s)·cos 30º = 4,33 m/s
vy = –(5 m/s)·sen 30º – (9,8 m/s2)·1 s = –12,13 m/s
v = (4,33 i – 12,13 j) m/s
Módulo:
Dirección:
El ángulo positivo no es válido, ya que el sentido del arco es el de las agujas del reloj.
La piedra se mueve a 13 m/s en dirección 70,5º bajo la horizontal.
Componentes intrínsecas de la aceleración:
Las componentes intrínsecas de la aceleración son las componentes de la aceleración (g), en la dirección de la velocidad (tangencial) y su perpendicular (normal).
Aceleraciones tangencial y normal:
at = g sen α’ = (9,8 m/s2)·sen 70,5º = 9,24 m/s2
an = g cos α’ = (9,8 m/s2)·cos 70,5º = 3,27 m/s2
Nota: Los segmentos del mismo color son perpendiculares, por tanto delimitan ángulos iguales.
La piedra curva su trayectoria y gana rapidez. La aceleración tangencial tiene el sentido de la velocidad.
b) Dato: v = 10 m/s
v2 = (v0 cos α)2 + (–v0 sen α – g t)2
v2 = v02 cos2 α + v02 sen2 α + 2v0 sen α·g t + g2 t2
v2 = v02 (cos2 α + sen2 α) + 2v0 sen α·g t + g2 t2
v2 = v02 + 2v0 g sen α·t + g2 t2
g2 t2 + 2v0 g sen α·t + (v02 – v2) = 0
La primera solución no es válida porque saldría un resultado negativo.
Segunda solución:
La velocidad de 10 m/s se consigue una sola vez, a los 0,66 segundos de iniciarse el movimiento.
c) Dato: α2 = 20º
El resultado negativo del tiempo indica que nunca la velocidad apuntará 20º por debajo de la horizontal.
La razón es evidente: en un tiro la inclinación de la velocidad siempre va disminuyendo y este movimiento empieza con la velocidad formando 30º por debajo de la horizontal, luego no puede pasar a 20º que sería aumentar (al estar por debajo de la horizontal, en realidad estamos trabajando con ángulos negativos).
d) Cuando la piedra llegue al suelo y = –10 m
Tiempo que tarda en llegar al suelo:
La raíz negativa no vale porque se obtendría un tiempo negativo, por tanto:
Alcance:
La piedra tarda 1,20 segundos en llegar al suelo y lo hace a 5,18 m a la derecha del observador.
Velocidad de llegada:
La piedra llega al suelo con velocidad 14,86 m/s, en dirección 73º bajo la horizontal.