Tiro parabólico 17

 

Desde el tejado de un edificio de 10 metros de alto, se lanza una piedra a 5 m/s en dirección 30º bajo la horizontal. Determina: 

a)  Posición, velocidad y componentes intrínsecas de la aceleración a cabo de 1 segundo.

b)  En qué momento su velocidad será 10 m/s.

c)  Cuándo estará moviéndose en dirección 20º bajo la horizontal.

d)  Tiempo que tarda en llegar al suelo, alcance y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: y1 = –10 m; v0 = 5 m/s; α = 30º; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 17,1 bis

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α           vy = –v0 sen α – g t

x = v0 t cos α          y = –v0 t sen α – (1/2) g t2

a)  Dato: t = 1 s

Vector posición:

r = x i + y j

x = (5 m/s)·1 s· cos 30º = 4,33 m

y = –(5 m/s)· 1 s·sen 30º – (1/2)·(9,8 m/s2)·(1 s)2 = –7,40 m

r = (4,33 i – 7,40 j) m

La piedra está a 4,33 metros a la derecha y a 7,40 metros por debajo del origen.

Advierte que se sabe donde se encuentra la piedra, pero no el espacio (longitud de trayectoria) que ha recorrido.

Vector velocidad:

v = vx i + vy j

vx = (5 m/s)·cos 30º = 4,33 m/s

vy = –(5 m/s)·sen 30º – (9,8 m/s2)·1 s = –12,13 m/s

v = (4,33 i – 12,13 j) m/s

Módulo:

TIRO PARABOLICO 17,2

Dirección:

TIRO PARABOLICO 11, 3

TIRO PARABOLICO 17,4

El ángulo positivo no es válido, ya que el sentido del arco es el de las agujas del reloj.

La piedra se mueve a 13 m/s en dirección 70,5º bajo la horizontal.

Componentes intrínsecas de la aceleración:

TIRO HORIZONTAL 05, 5

Las componentes intrínsecas de la aceleración son las componentes de la aceleración (g), en la dirección de la velocidad (tangencial) y su perpendicular (normal).

TIRO HORIZONTAL 05, 6

Aceleraciones tangencial y normal:

at = g sen α’ = (9,8 m/s2)·sen 70,5º = 9,24 m/s2

an = g cos α’ = (9,8 m/s2)·cos 70,5º = 3,27 m/s2

Nota: Los segmentos del mismo color son perpendiculares, por tanto delimitan ángulos iguales.

La piedra curva su trayectoria y gana rapidez. La aceleración tangencial tiene el sentido de la velocidad.

b)  Dato: v = 10 m/s

TIRO PARABOLICO 17,7

v2 = (v0 cos α)2 + (–v0 sen α – g t)2 

v2 = v02 cos2 α + v02 sen2 α + 2v0 sen α·g t + g2 t2 

v2 = v02 (cos2 α + sen2 α) + 2v0 sen α·g t + g2 t2 

v2 = v02 + 2v0 g sen α·t + g2 t2 

g2 t2 + 2v0 g sen α·t + (v02 – v2) = 0

TIRO PARABOLICO 17,8

La primera solución no es válida porque saldría un resultado negativo.

Segunda solución:

TIRO PARABOLICO 17,9

La velocidad de 10 m/s se consigue una sola vez, a los 0,66 segundos de iniciarse el movimiento.

c)  Dato: α2 = 20º

TIRO PARABOLICO 17,10

El resultado negativo del tiempo indica que nunca la velocidad apuntará 20º por debajo de la horizontal.

La razón es evidente: en un tiro la inclinación de la velocidad siempre va disminuyendo y este movimiento empieza con la velocidad formando 30º por debajo de la horizontal, luego no puede pasar a 20º que sería aumentar (al estar por debajo de la horizontal, en realidad estamos trabajando con ángulos negativos).

d)  Cuando la piedra llegue al suelo y = –10 m

Tiempo que tarda en llegar al suelo:

TIRO PARABOLICO 17,11

La raíz negativa no vale porque se obtendría un tiempo negativo, por tanto:

TIRO PARABOLICO 17,12

Alcance:

 TIRO PARABOLICO 17,13

La piedra tarda 1,20 segundos en llegar al suelo y lo hace a 5,18 m a la derecha del observador.
Velocidad de llegada:

TIRO PARABOLICO 17,14

 

TIRO PARABOLICO 11, 3

TIRO PARABOLICO 17,15

La piedra llega al suelo con velocidad 14,86 m/s, en dirección 73º bajo la horizontal.

 

 

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