El Sapo Sabio

 

Se dispara un proyectil desde lo alto de un acantilado de 175 metros de altura con una velocidad inicial de 300 m/s y un ángulo de inclinación de 30º. Calcula:

a)  El alcance.

b)  La altura máxima.

c)  Velocidad con la que llega al agua.

 

 

Solución:

Datos: y₁ = –175 m; v₀ = 300 m/s; α = 30º; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = v₀ t sen α – (1/2) g t²  

a)  El alcance se consigue cuando el móvil choca contra el agua, es decir: y = y₁.

x₁ = v₀ t cos α → t = x₁/v₀·cos α

y₁ = v₀ (x₁/v₀·cos α)·sen α – (1/2) g (x₁/v₀·cos α)²  

y₁ = x₁·sen α/cos α – [(1/2)·g·x₁²/(v₀·cos α)²]

 y₁·(v₀·cos α)² = (x₁·sen α/cos α)· (v₀·cos α)² – (1/2)·g·x₁²

(1/2)·g·x₁² – v₀²· sen α· cos α·x₁ + y₁·(v₀·cos α)² = 0

El resultado negativo no sirve pues indicaría que la trayectoria del proyectil es hacia atrás.

El proyectil tiene un alcance de 8246 m.

b)  La altura máxima se consigue cuando el móvil deja de subir, o sea, cuando v_y = 0.

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α → t = v₀ sen α/g

y = v₀ (v₀ sen α/g)·sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²  

y = (v₀² sen² α/g) – (1/2) (v₀² sen² α/g)

   y = (v₀ sen α)²/2g

y = [(300 m/s)·sen 30º]²/(2·9,8 m/s²) = 1148 m

Si se trata de saber la altura máxima con respecto al nivel del agua es 1323 m (1148 + 175)

c) 

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

v_x = v₀ cos α           v_y = v₀ sen α – g t

Tiempo que tarda en llegar al agua el proyectil:

x₁ = v₀ t cos α → t = x₁/v₀·cos α

v_y = v₀ sen α – g (x₁/v₀·cos α)