El Sapo Sabio

 

Una jugadora de tenis, para realizar un servicio, lanza la pelota verticalmente y hacia arriba desde un punto situado a 1,60 m del suelo y la golpea con una raqueta cuando alcance el punto más alto de la trayectoria, situado 40 cm más arriba. La pelota sale con una velocidad horizontal v₀ y tiene que pasar por encima de una red de 0,90 m de altura. La distancia horizontal que separa a la jugadora de la red es de 12 m. Calcula:

a)  ¿Con qué velocidad vertical lanza la pelota la jugadora?

b)  ¿Cuál debe ser la velocidad horizontal v₀ para que la pelota pase 10 cm por encima de la red?

c)  ¿Cuál será la dirección del vector velocidad al pasar por encima de la red?

d)  ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria seguida por la pelota desde que es golpeada por la raqueta de la jugadora.

 

 

Solución:

Datos: y₀ = 1,60 m; y₁ = (1,60 + 0,40) m = 2 m; y₂ = 0,90 m = 1 m; d = 12 m

a)    

Ecuaciones del movimiento:

v₁ = v₀ – g t            y₁ = y₀ + v₀ t – (1/2) g t²

En el punto más alto, y₁, v₁ = 0, por tanto:

0 = v₀– g t → t = v₀/g → y₁ = y₀ + v₀ (v₀/g) – (1/2) g (v₀/g)²

y₁ = y₀ + (v₀²/g) – (1/2) (v₀²/g) → y₁ = y₀ + (1/2) (v₀²/g)

y₁ – y₀ = (1/2) (v₀²/g) → v₀² = 2 g (y₁ – y₀)

b)  Dato: h = y₂ + 10 cm = 0,90 m + 0,10 m = 1 m

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v’₀         v_y = –g t’

x = v’₀ t’       y = y₁ – (1/2) g t’²

Cuando x = d, y = h, luego:

d = v’₀t’ → t’ = d/v’₀

h = y₁ – (1/2)·g·( d/v’₀)²  → h – y₁ = –(1/2)·g·( d/v’₀)²

v’₀² (h – y₁) = –(1/2)·g·d² → v’₀² = g·d²/2·(y₁ – h)

c) 

cos α = v’_x/v’ → α = arc cos (v’_x/v’)

α = arc cos (26,6/26,96) = 9,4º

d)  Según el apartado b)

x = v’₀ t’       y = y₁ – (1/2) g t’²

t’ = d/v’₀

Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene la ecuación de la trayectoria:

y = y₁ – (1/2) g (x/v’₀)²

Aplicando a los datos de este problema: