El Sapo Sabio

 

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 10 m/s. El viento sopla comunicando a la pelota una aceleración horizontal igual a g/5. Se pide:

a)  Altura máxima, tiempo en alcanzarla y desplazamiento horizontal correspondiente.

b)  Tiempo que tarda en llegar al suelo, alcance y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 10 m/s; a = g/5; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = a t                  v_y = v₀ – g t

x = (1/2) a t²                   y = v₀ t – (1/2) g t²

a)  La altura máxima se consigue cuando la velocidad de subida (velocidad vertical) es igual a cero, es decir: v_y = 0.

Tiempo que tarda en alcanzarla:

0 = v₀ – g t → g t = v₀ → t = v₀/g

Altura máxima y desplazamiento horizontal:

y₁ = v₀ (v₀/g) – (1/2) g (v₀/g)²

y₁ = (v₀²/g) – (v₀²/2g) = v₀²/2g

x₁ = (1/2) a (v₀/g)² = a v₀²/2g²

t = (10 m/s)/(9,8 m/s²) = 1,02 s

y₁ = (10 m/s)²/(2·9,8 m/s²) = 5,10 m

x₁ = [(g/5)·(10 m/s)²]/(2·g²) = (100 m²/s²)/(10·9,8 m/s²) = 1,02 m  

Se puede observar que en la expresión de la altura máxima no interviene la aceleración del viento, luego será la misma con viento o sin él. El viento solo afecta al desplazamiento horizontal que corresponde a dicha altura máxima.

b)  Cuando llegue al suelo y = 0.

Tiempo que tarda:

0 = v₀ t – (1/2) g t² → t·[v₀ – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t = 0

Segunda solución:

v₀ – (1/2) g t = 0 → (1/2) g t = v₀ → t = 2v₀/g

La primera solución corresponde a la salida del proyectil.

Alcance:

x₂ = (1/2) a (2v₀/g)² = 2 a v₀²/g²

t = (2·10 m/s)/(9,8 m/s²) = 2,04 s

x₂ = [2·(g/5)·(10 m/s)²]/g² = (40 m²/s²)/(9,8 m/s²) = 4,08 m

Velocidad de llegada:

v_x = a·(2v₀/g) = 2a v₀/g = 2·(g/5)/g = (2/5) v₀

v_y = v₀ – g·(2v₀/g) = –v₀

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:

La piedra llega al suelo con una velocidad de 10,8 m/s, en dirección 68,2º bajo la horizontal.

Se puede ver que el módulo de la velocidad de llegada no es igual al de la velocidad de salida.