El Sapo Sabio

 

Una bola rueda por una mesa de 1 metro de altura y llega al borde con una velocidad de 2 m/s. Halla:

a)  Posición, velocidad y componentes intrínsecas de la aceleración a cabo de 0,2 segundos.

b)  Cuándo estará moviéndose en dirección 30º bajo la horizontal.

c)  Dónde estará cuando su velocidad sea de 4 m/s.

d)  Tiempo que tarda en llegar al suelo, alcance y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: y₁ = –1 m; v₀ = 2 m/s; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀                            v_y = –g t

x = v₀ t        y = –(1/2) g t²

a)  Dato: t = 0,2 s

Vector posición:

r = x i + y j

x = (2 m/s)·0,2 s = 0,4 m

y = –(1/2)·(9,8 m/s²)·(0,2 s)² = –0,2 m

r = (0,4 i – 0,2 j) m

La bola está 0,4 metros a la derecha y 0,2 metros por debajo del origen. Advierte que se sabe donde se encuentra, pero no el espacio (longitud de trayectoria) que ha recorrido.

Vector velocidad:

v = v_x i + v_y j

v_x = 2 m/s

v_y = –(9,8 m/s²)·0,2 s = –1,96 m/s

v = (2 i – 1,96 j) m/s

Módulo:

Dirección:

 

cos α = v_x/v = (2 m/s)/(2,8 m/s)

v = {2,8 m/s, –44,4º}

El ángulo positivo no es válido, ya que el sentido del arco es el de las agujas del reloj.       

La bola se mueve a 2,8 m/s en dirección 44,4º bajo la horizontal.

Componentes intrínsecas de la aceleración:

Las componentes intrínsecas de la aceleración son las componentes de la aceleración (g), en la dirección de la velocidad (tangencial) y su perpendicular (normal).

Aceleraciones tangencial y normal:

a_t = g sen α = (9,8 m/s²)·sen 44,4º = 6,86 m/s²

a_n = g cos α = (9,8 m/s²)·cos 44,4º = 7 m/s²

Nota: Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

La bola curva su trayectoria y gana rapidez. La aceleración tangencial tiene el sentido de la velocidad.

b)  Dato: α = 30º

tg α = –v_y/v_x = g t/v₀ → v₀ tg α = g t

t = v₀ tg α/g

t = [(2 m/s)·tg 30º]/(9,8 m/s²) = 0,12 s 

c)  Dato: v = 4 m/s

Módulo del vector velocidad:

v² = v₀² + g² t² → g² t² = v² – v₀²

t² = (v² – v₀²)

La bola estará a 0,71 metros a la derecha del origen de coordenadas y a 0,61 metros por debajo

d)  Cuando la pelota llegue al suelo y = y₁

Tiempo que tarda en llegar al suelo:

y₁ = –(1/2) g t² → t² = –2 y₁/g

Alcance:

La bola emplea 0,45 segundos en llegar al suelo y lo hace a 0,9 metros a la derecha del origen.

Velocidad de llegada:

v_x = v₀ = 2 m/s

cos α = v_x/v = (2 m/s)/(4,86 m/s)

v = {4,86 m/s, –65,7º}

La pelota llega al suelo con velocidad 4,86 m/s, en dirección 65,7º bajo la horizontal.