El Sapo Sabio

 

Desde el suelo se lanza una piedra hacia arriba a 19,6 m/s. Simultáneamente desde un punto situado a 14,7 metros por encima, se lanza otra hacia abajo a 4,9 m/s.

a)  ¿Dónde se cruzarán?

b)  Si la segunda piedra se lanzará con un retardo de 0,5 segundos respecto a la primera, ¿dónde sería el cruce?

c)  Repetir con un retardo de 1,5 segundos.

d)  ¿Cuál debería ser el retardo para que las piedras se encontraran justo al llegar al suelo?

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 19,6 m/s; y’₀ = 14,7 m; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones de los movimientos:

Primera piedra:

v = v₀ – g t             y = v₀ t – (1/2) g t²

Segunda piedra

v’ = –v’₀ – g t                   y’ = y’₀ – v’₀ t – (1/2) g t²

a)  En el punto de encuentro se cumple que y = y’ (ambos objetos están a la misma altura del origen), por tanto:

v₀ t – (1/2) g t² = y’₀ – v’₀ t – (1/2) g t²

v₀ t = y’₀ – v’₀ t → v₀ t + v’₀ t = y’₀ → (v₀ + v’₀) t = y’₀

 t = y’₀/(v₀ + v’₀)

Como ambas piedras tienen la misma aceleración, el tiempo que tardan en encontrarse, es lo que tarda la piedra lanzada en recorrer la distancia que inicialmente la separaba de la otra.

Posición donde se encuentran:

y = v₀ [y’₀/(v₀ + v’₀)] – (1/2) g [y’₀/(v₀ + v’₀)]²

y = [y’₀/(v₀ + v’₀)]·{v₀– (1/2) g [y’₀/(v₀ + v’₀)]}

b)  Dato: ∆t = 0,5 s

Ecuaciones de la segunda piedra:

v’ = –v’₀ – g (t – ∆t)                   y’ = y’₀ – v’₀ (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)²

Como el punto de encuentro se cumple que y = y’, luego:

v₀ t – (1/2) g t² = y’₀ – v’₀ (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)²

v₀ t – (1/2) g t² = y’₀ – v’₀ t + v’₀ ∆t – (1/2) g [t² – 2t ∆t + (∆t)²]

v₀ t – (1/2) g t² = y’₀ – v’₀ t + v’₀ ∆t – (1/2) g t² + g t ∆t – (1/2) g (∆t)²

v₀ t = y’₀ – v’₀ t + v’₀ ∆t + g t ∆t – (1/2) g (∆t)²

v₀ t + v’₀ t – g t ∆t = y’₀ + v’₀ ∆t – (1/2) g (∆t)²

(v₀ + v’₀ – g ∆t)·t = y’₀ + v’₀ ∆t – (1/2) g (∆t)²

t = [y’₀ + v’₀ ∆t – (1/2) g (∆t)²]/(v₀ + v’₀ – g ∆t)

c)  Dato: ∆t = 1,5 s

Del apartado anterior:

t' = t – ∆t = 1,1 s – 1,5 = –0,4 s → No

En este caso las piedras no se cruzan en el aire, pues para que lo hicieran el tiempo de la que se deja caer ha de ser negativo, es decir, que las piedras se cruzarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

d)  Para que las piedras se encuentren justo al llegar al suelo se ha de cumplir que y = y’ = 0.

Tiempo que tarda la primera piedra en llegar al suelo:

0 = v₀ t – (1/2) g t² → t·[(1/2) g t – v₀] = 0

Primera solución:

t = 0

Esta solución no nos sirve pues corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

(1/2) g t – v₀ = 0  → (1/2) g t = v₀ → t = 2v₀/g

Tiempo que tarda la segunda piedra en llegar al suelo.

Si hacemos t’ = t – ∆t, tenemos que:

(1/2) g t’² + v’₀ t’ – y’₀

La raíz negativa no vale porque daría un tiempo negativo.