El Sapo Sabio

 

Se dispara verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 100 m/s y un segundo después otro proyectil con la misma velocidad inicial. Halla:

a)  Altura a la que chocan ambos proyectiles.

b)  Las velocidades de ambos en ese momento.

 

 

Solución:

Datos: v_1,0 = v_2,0 = 100 m/s; t₁ = t; t₂ = t – t₀; g = 9,8 m/s²

a)  Dato: t₀ = 1 s

Ecuaciones del movimiento del proyectil 1: 

v₁ = v_1,0 – g t₁

y₁ = v_1,0 t₁ – (1/2) g t₁²

Ecuaciones del movimiento del proyectil 2: 

v₂ = v_2,0 – g t₂

y₂ = v_2,0 t₂ – (1/2) g t₂²

En el punto de encuentro ambos proyectiles están la misma altura, es decir: y₁ = y₂, por tanto:

v_1,0 t₁ – (1/2) g t₁² = v_2,0 t₂ – (1/2) g t₂²

v_1,0 t – (1/2) g t² = v_2,0 (t – t₀) – (1/2) g (t – t₀)²

v_1,0 t – (1/2) g t² = v_2,0 t – v_2,0 t₀ – (1/2) g (t – t₀)²

Como v_1,0 = v_2,0:

–(1/2) g t² = – v_2,0 t₀ – (1/2) g (t – t₀)²

–(1/2) g t² = – v_2,0 t₀ – (1/2) g (t² – 2t t₀ + t₀²)

–(1/2) g t² = – v_2,0 t₀ – (1/2) g t² + g t t₀ – (1/2) g t₀²

0 = – v_2,0 t₀ + g t t₀ – (1/2) g t₀²

g t t₀ = v_2,0 t₀ + (1/2) g t₀²

g t = v_2,0 + (1/2) g t₀

t = v_2,0/g + (1/2) t₀ = (100 m/s)/(9,8m/s²) +  0,5 s

t = 10,7 s

y₁ = 100 (m/s)·10,7 s – (1/2) 9,8 (m/s²)·(10,7)²

y₁ = 509 m

b)  Datos: t₁ = 10,2 s; t₂ = 10,2 s – 1 s = 9,7 s

v₁ = 100 (m/s) – 9,8 (m/s²)·10,7 s = –4,86 m/s

El signo negativo indica que el proyectil 1 está bajando.

v₂ = 100 (m/s) – 9,8 (m/s²)·9,7 s = 4,94 m/s