El Sapo Sabio

 

Desde el suelo se lanzan verticalmente hacia arriba dos piedras, con la misma velocidad 10 m/s, y separadas por un intervalo de tiempo de 0,5 segundos.

a)  Determina cuándo y dónde se encontrarán.

b)  Determina el retardo para que no se crucen en el aire.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 10 m/s; ∆t = 0,5 s ; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento de la piedra 1:

v = v₀ – g t             y = v₀ t – (1/2) g t²

Ecuaciones del movimiento de la piedra 2:

v' = v₀ – g (t – ∆t)            y’ = v₀ (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)²

a)  En el punto de encuentro se cumple que y = y’, por tanto:

v₀ t – (1/2) g t² = v₀ (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)²

v₀ t – (1/2) g t² = v₀ t – v₀ ∆t – (1/2) g [t² – 2t Δt + (Δt)²]

–(1/2) g t² = –v₀ ∆t – (1/2) g t² + (1/2) g·2t Δt – (1/2) g (Δt)²

0 = –v₀ ∆t + g t Δt – (1/2) g (Δt)²

g t Δt = v₀ ∆t + (1/2) g (Δt)²

g t = v₀ + (1/2) g Δt

Expresión del tiempo:

Expresión de la posición:

Tiempo que tardan en encontrarse:

t = [(10 m/s) + (1/2)·(9,8 m/s²)·0,5 s]/(9,8 m/s²) = 1,3 s

Posición donde se encuentran las piedras:

y = {(10 m/s)² – [(1/2)·(9,8 m/s²)·0,5 s]²}/2·(9,8 m/s²) = 4,8 m

b)  En caso extremo, el encuentro entre las dos piedras se producirá cuando la primera llegue al suelo, en el momento en que se lanza la segunda. Entonces en el instante t, ambas piedras estarán en la misma posición, es decir: y = y’ = 0, luego:

0 = v₀ (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)²

(t – ∆t)·[(1/2) g (t – ∆t) – v₀] = 0

Primera solución:

t – ∆t = 0 → ∆t = t

Segunda solución:

(1/2) g (t – ∆t) – v₀ = 0 → (1/2) g (t – ∆t) = v₀

t – ∆t = 2v₀/g → ∆t = t – (2v₀/g)

Tiempo que tarda en llegar al suelo la piedra 1:

0 = v₀ t – (1/2) g t²

t ·[(1/2) g t – v₀] = 0

Primera solución:

t = 0

Segunda solución:

(1/2) g t – v₀ = 0 → (1/2) g t = v₀

t = 2v₀/g

La primera solución corresponde al momento de la salida.

∆t = t = 2v₀/g = 2·(10 m/s)/(9,8 m/s²) = 2,04 s

∆t = t – (2v₀/g) = (2v₀/g) – (2v₀/g) = 0 (Este resultado no es válido)

También se puede hacer de la siguiente forma:

Del apartado anterior tenemos que:

t = [v₀ + (1/2) g Δt]/g

Tiempo de la segunda piedra:

t' = t – ∆t = {[v₀ + (1/2) g Δt]/g} – ∆t = (v₀/g) + (1/2) Δt – ∆t

t' = (v₀/g) – (1/2) Δt

En la ecuación de t’ se ve que al aumentar el retardo ∆t  disminuye t’ y que llegará un momento en que ésta será negativa, en cuyo caso no habrá encuentro. El caso límite corresponderá al valor de ∆t que hace a t’ igual a cero.

0 = (v₀/g) – (1/2) Δt

(1/2) Δt = v₀/g → Δt = 2v₀/g

Δt = (2·10 m/s)/(9,8 m/s²) = 2,04 s

Conclusión: Si la segunda piedra se lanza más de 2,04 segundos después de haberse tirado la primera, no se encontrarán, porque ésta ya ha llegado al suelo.