El Sapo Sabio

 

Desde el suelo se lanza una piedra hacia arriba a 20 m/s. Desde un punto situado 15 m por encima se deja caer otra con un cierto retardo.

a)  Determina cuándo y dónde se cruzarán siendo el retardo: 0,5 s o 1,5 s.

b)  ¿Cuál debería ser el retardo para que las piedras se encontraran a 10 m sobre el suelo?

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 20 m/s; y’₀ = 15 m; g = 9,8 m/s²

a)    

Ecuaciones de la piedra que se lanza hacia arriba:

v = v₀ – g t             y = v₀ t – (1/2) g t²

Ecuaciones de la piedra que se deja caer:

Referidas al tiempo t’:

v' = –g t’                y’ = y’₀ – (1/2) g t’²

Referidas al tiempo t:

v' = –g (t – ∆t)                 y’ = y’₀ – (1/2) g (t – ∆t)²

Relación entre tiempos:

Cuando se mide el tiempo con un reloj lo que realmente se mide es el ángulo que gira una aguja a partir de una posición de partida arbitraria.

Comienza a moverse el primer móvil:

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t = Δt.

Ahora comienza el movimiento del segundo.

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t (ángulo contado desde t = 0).

El segundo móvil lleva moviéndose un tiempo t’ (ángulo contado desde t’ = 0).

Evidentemente t = Δt + t’, por tanto: t’ = t – Δt

Es importante recordar que el móvil que sale más tarde circula menos tiempo.

En el instante t₁ las posiciones de las piedras serán:

y₁ = v₀ t₁ – (1/2) g t₁²

y’₁ = y’₀ – (1/2) g (t₁ – Δt)²

Si se ha producido el encuentro las posiciones serán iguales:

y₁ = y’₁

v₀ t₁ – (1/2) g t₁² = y’₀ – (1/2) g (t₁ – Δt)²

v₀ t₁ – (1/2) g t₁² = y’₀ – (1/2) g [t₁² – 2t₁ Δt + (Δt)²]

v₀ t₁ – (1/2) g t₁² = y’₀ – (1/2) g t₁² + (1/2) g·2t₁ Δt – (1/2) g (Δt)²

v₀ t₁ = y’₀ + g t₁ Δt – (1/2) g (Δt)²

v₀ t₁ – g t₁ Δt  = y’₀ – (1/2) g (Δt)²

t₁ (v₀ – g Δt)  = y’₀ – (1/2) g (Δt)²

La posición de encuentro será:

Si Δt = 0,5 s:

t₁ = [15 m – (1/2)·(9,8 m/s²)·(0,5 s)²]/[(20 m/s) – (9,8 m/s²)·0,5 s] = 0,91 s

t’ = 0,91 s – 0,5 s = 0,41 s

y’₁ = 15 m – (1/2)·(9,8 m/s²)·(0,91 s – 0,5 s)² = 14,2 m

Si Δt = 1,5 s:

t₁ = [15 m – (1/2)·(9,8 m/s²)·(1,5 s)²]/[(20 m/s) – (9,8 m/s²)·1,5 s] = 0,75 s

t’ = 0,75 s – 1,5 s = –0,75 s

En este caso las piedras no se cruzan en el aire, pues para que lo hicieran el tiempo de la que se deja caer ha de ser negativo, es decir, que las piedras chocarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

b)  En este caso, en el instante del cruce, t₂, ambas piedras estarán en la misma posición: y₂ = y’₂ = 10 m.

Según el apartado anterior:

y₂ = v₀ t₂ – (1/2) g t₂²

y’₂ = y’₀ – (1/2) g (t₂ – Δt)²

De la primera expresión:

(1/2) g t₂² – v₀ t₂ + y₂ = 0

De la segunda expresión:

(1/2) g (t₂ – Δt)² = y’₀ – y’₂

(t₂ – Δt)² = 2(y’₀ – y’₂)/g

La anterior expresión representa el valor del tiempo t’ cuando se produce el encuentro. Como este tiempo tiene que ser positivo, se toma la raíz positiva.

Primera solución:

Esta solución no es válida, pues significa que las piedras chocarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

Segunda solución:

Dejando caer la segunda piedra con un retardo de 2,4 s, chocaría con la primera 3,5 s después de lanzarla.

Dimensionalmente: