Móviles al encuentro y en persecución 09

 

Desde el suelo se lanza una piedra hacia arriba a 20 m/s. Desde un punto situado 15 m por encima se deja caer otra con un cierto retardo.

a)  Determina cuándo y dónde se cruzarán siendo el retardo: 0,5 s o 1,5 s.

b)  ¿Cuál debería ser el retardo para que las piedras se encontraran a 10 m sobre el suelo?

 

 

Solución:

Datos: v0 = 20 m/s; y’0 = 15 m; g = 9,8 m/s2

a)    

GRAVES A, V, A, T 09

Ecuaciones de la piedra que se lanza hacia arriba:

v = v0 – g t             y = v0 t – (1/2) g t2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 2

Ecuaciones de la piedra que se deja caer:

Referidas al tiempo t’:

v' = –g t’                y’ = y’0 – (1/2) g t’2

Referidas al tiempo t:

v' = –g (t – ∆t)                 y’ = y’0 – (1/2) g (t – ∆t)2

Relación entre tiempos:

Cuando se mide el tiempo con un reloj lo que realmente se mide es el ángulo que gira una aguja a partir de una posición de partida arbitraria.

Comienza a moverse el primer móvil:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 2

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t = Δt.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 3

Ahora comienza el movimiento del segundo.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 4

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t (ángulo contado desde t = 0).

El segundo móvil lleva moviéndose un tiempo t’ (ángulo contado desde t’ = 0).

Evidentemente t = Δt + t’, por tanto: t’ = t – Δt

Es importante recordar que el móvil que sale más tarde circula menos tiempo.

En el instante t1 las posiciones de las piedras serán:

y1 = v0 t1 – (1/2) g t12

y’1 = y’0 – (1/2) g (t1 – Δt)2

Si se ha producido el encuentro las posiciones serán iguales:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 6

y1 = y’1

v0 t1 – (1/2) g t12 = y’0 – (1/2) g (t1 – Δt)2

v0 t1 – (1/2) g t12 = y’0 – (1/2) g [t12 – 2t1 Δt + (Δt)2]

v0 t1 – (1/2) g t12 = y’0 – (1/2) g t12 + (1/2) g·2t1 Δt – (1/2) g (Δt)2

v0 t1 = y’0 + g t1 Δt – (1/2) g (Δt)2

v0 t1 – g t1 Δt  = y’0 – (1/2) g (Δt)2

t1 (v0 – g Δt)  = y’0 – (1/2) g (Δt)2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 7

La posición de encuentro será:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 8

Si Δt = 0,5 s:

t1 = [15 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(0,5 s)2]/[(20 m/s) – (9,8 m/s2)·0,5 s] = 0,91 s

t’ = 0,91 s – 0,5 s = 0,41 s

y’1 = 15 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(0,91 s – 0,5 s)2 = 14,2 m

Si Δt = 1,5 s:

t1 = [15 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(1,5 s)2]/[(20 m/s) – (9,8 m/s2)·1,5 s] = 0,75 s

t’ = 0,75 s – 1,5 s = –0,75 s

En este caso las piedras no se cruzan en el aire, pues para que lo hicieran el tiempo de la que se deja caer ha de ser negativo, es decir, que las piedras chocarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

b)  En este caso, en el instante del cruce, t2, ambas piedras estarán en la misma posición: y2 = y’2 = 10 m.

Según el apartado anterior:

y2 = v0 t2 – (1/2) g t22

y’2 = y’0 – (1/2) g (t2 – Δt)2

De la primera expresión:

(1/2) g t22 – v0 t2 + y2 = 0

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 9

De la segunda expresión:

(1/2) g (t2 – Δt)2 = y’0 – y’2

(t2 – Δt)2 = 2(y’0 – y’2)/g

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 10

La anterior expresión representa el valor del tiempo t’ cuando se produce el encuentro. Como este tiempo tiene que ser positivo, se toma la raíz positiva.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 11

Primera solución:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 12

Esta solución no es válida, pues significa que las piedras chocarían dejando caer la segunda antes de lanzar la primera.

Segunda solución:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 13

Dejando caer la segunda piedra con un retardo de 2,4 s, chocaría con la primera 3,5 s después de lanzarla.

Dimensionalmente:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 09, 14

 

 

 


Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo