Móviles al encuentro y en persecución 08

 

Un estudiante decidido a comprobar por si mismo la ley de la gravedad se deja caer, cronometro en mano, desde lo alto de un rascacielos de 270 metros. Cinco segundos después aparece en el tejado Superman, que se lanza al rescate del estudiante volando con velocidad constante. Determina:

a)  Velocidad de Superman, para que alcance al estudiante justo al llegar al suelo.

b)  Altura del edificio para que ni siquiera Superman, pueda salvar al estudiante.

 

 

Solución:

Datos: y1 = –270 m; ∆t = 5 s: g = 9,8 m/s2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 1

Ecuaciones del movimiento del estudiante:

v  = –g t                y =  –(1/2) g t2

Ecuación del movimiento de Superman:

y' = –v’ (t – ∆t)

a)  Para que Superman alcance al estudiante justo al llegar al suelo, se ha de cumplir que:

y = y’ = y1

Veamos qué velocidad debe llevar Superman para conseguirlo.

y1 = –v’ (t – ∆t) → v’ = –y1/(t – ∆t) 

y1 =  –(1/2) g t2 → t2 = –2y1/g

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 2

Superman tiene poderes para alcanzar una velocidad de 111 m/s con solo proponérselo, pero además debe tener poderes para detenerse instantáneamente. Si no fuera así, alcanzaría al estudiante y los dos juntitos se estamparían contra el suelo.

Otra forma de resolver este apartado es la siguiente:

Ecuación del movimiento del estudiante:

y1 =  –(1/2) g t2

Tiempo que tarda el estudiante en llegar al suelo:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 3

Para poder salvar al estudiante, Superman de invertir un tiempo total de: t’ = t – ∆t, por tanto su velocidad debe ser:

y1 = v’ t’ → v’ = y1/t’ = y1/(t – ∆t)

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 4

b)  Este apartado se puede resolver de varias formas.

Primera forma:

Superman tarda 5 segundos en iniciar el rescate, veamos en ese tiempo el espacio que recorre el estudiante:

y1 = –(1/2)·(9,8 m/s2)·(5 s)2 = 122,5 m

Si la altura del edificio es de 122,5 metros o menos, poco podrá hacer Superman para salvar al estudiante. (No obstante en el cine realiza cosas mucho más difíciles)

Segunda forma:

Según el apartado anterior:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 5

Si el denominador de la fracción fuera igual a cero, la velocidad sería infinita y, me parece, que ni Superman podría alcanzarla, por tanto:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 6

y1 = [–(9,8 m/s2)·(5 s)2]/2 = –122,5 m

Si la altura del edificio fuera de 122,5 metros o menos, Superman tendrá que volar con una velocidad infinita para poder salvar al estudiante.

Tercera forma:

Para que Superman no alcance al estudiante, la altura ha de ser tal que la velocidad de Superman se tiene que hacer infinita, luego:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 08, 7

–2y1/g = (∆t)2 → y1 = –g·(∆t)2/2 

y1 = [–(9,8 m/s2)·(5 s)2]/2 = –122,5 m  

 

 


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