Móviles al encuentro y en persecución 07

 

Desde el suelo se lanza una piedra hacia arriba a 19,6 m/s. Simultáneamente desde un punto situado a 14,7 metros por encima se deja caer otra. Determina:

a)  Dónde se cruzarán.

b)  La mínima velocidad de lanzamiento para que se crucen en el aire.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 19,6 m; y’0 = 14,7 m; g = 9,8 m/s2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 07, 1

Ecuaciones de los movimientos:

Primera piedra:

v = v0 – g t             y = v0 t – (1/2) g t2

Segunda piedra:

v’ = –g t                y’ = y’0 – (1/2) g t2

a)  En el punto de encuentro se cumple que y = y’ (ambos objetos están a la misma altura del origen), por tanto:

v0 t – (1/2) g t2 = y’0 – (1/2) g t2

v0 t = y’0 → t = y’0/v0

Como ambas piedras tienen la misma aceleración, el tiempo que tardan en encontrarse, es lo que tarda la piedra lanzada en recorrer la distancia que inicialmente la separaba de la otra.

Posición donde se encuentran:

y = v0 (y’0/v0) – (1/2) g (y’0/v0)2

y = y’0 – (1/2) g (y’0/v0)2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 07, 2

b)  Este apartado se puede resolver de dos formas diferentes:

Desde un punto de vista matemático:

En el apartado anterior se ha calculado la posición donde se produce el choque:

y = y’0 – (1/2) g (y’0/v0)2

Si y fuera negativo, significaría que el choque se produciría por debajo del suelo, cosa obviamente imposible. Luego el caso límite se verifica cuando y vale cero:

0 = y’0 – (1/2) g (y’0/v0)2

y’0 = (1/2) g (y’0/v0)2

(y’0/v0)2 = 2y’0/g

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 07, 3

Desde un punto de vista físico:

Ambas piedras se encuentran en el suelo al mismo tiempo, por tanto:

y = y’ = 0

0 = v0 t – (1/2) g t2

(1/2) g t2 – v0 t = 0 → g t2 – 2v0 t = 0

t·(g t – 2v0) = 0

Primera solución:

t = 0

Esta solución no vale pues no se puede producir el encuentro cuando t = 0.

Segunda solución:

g t – 2v0 = 0 → g t = 2v0

t = 2v0/g

0 = y’0 – (1/2) g (2v0/g)2

0 = y’0 – (2v02/g) → 2v02/g = y’0

v02 = g y’0/2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 07, 4

 

 

 


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