Móviles al encuentro y en persecución 06

 

Desde una altura de 40 metros se deja caer una piedra. Dos segundos después, se lanza desde el suelo otra piedra con velocidad de 20 m/s. Calcula:

a)  La distancia del suelo a la que se cruzan y el tiempo que tardan en encontrarse.

b)  Las velocidades de cada piedra en ese instante.

 

 

Solución:

Datos: y1 = 40 m; ∆t = 2 s; v’0 = 20 m/s; g = 9,8 m/s2

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 06, 1

Ecuaciones del movimiento de la primera piedra:

v = –g t                           y = y1 – (1/2) g t2

Ecuaciones del movimiento de la segunda piedra:

v' = v’0 – g (t – ∆t)                     y’ = v’0 (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)2

Es importante recordar que el móvil que sale más tarde circula menos tiempo.

a)  Cuando se encuentren ambas piedras estarán a la misma altura del origen, luego y = y’, por tanto:

y1 – (1/2) g t2 = v’0 (t – ∆t) – (1/2) g (t – ∆t)2

y1 – (1/2) g t2 = v’0 t – v’0 ∆t – (1/2) g [t2 – 2 t Δt + (Δt)2]

y1 – (1/2) g t2 = v’0 t – v’0 ∆t – (1/2) g t2 + g t Δt – (1/2) g (Δt)2

y1 = v’0 t – v’0 ∆t + g t Δt – (1/2) g (Δt)2

v’0 t + g t Δt = y1 + v’0 ∆t + (1/2) g (Δt)2

t (v’0 + g Δt) = y1 + v’0 ∆t + (1/2) g (Δt)2

t = [y1 + v’0 ∆t + (1/2) g (Δt)2]/(v’0 + g Δt)

t = [40 m + (20 m/s)·2 s + (1/2)·(9,8 m/s2)·(2 s)2 ]/[(20 m/s) + (9,8 m/s2)·2 s]

t = 99,6 m/(39,6 m/s) = 2,5 s

Tiempo de la primera piedra: t = 2,5 s.

Tiempo de la segunda piedra: t' = 0,5 s.

Distancia al origen del punto donde se encuentran:

y = y’ = 40 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(2,5 s)2 = 9 m

b)  Velocidades de las piedras en el punto de encuentro:

Primera piedra:

v = –(9,8 m/s2)·2,5 s = –24,5 m/s

Segunda piedra:

v’ = (20 m/s) – (9,8 m/s2)·0,5 s = 15 m/s

El signo negativo de la primera piedra indica que está bajando.

 

 


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