El Sapo Sabio

 

Desde lo alto de una torre de 40 metros de altura se deja caer un objeto A sin velocidad inicial. Simultáneamente, desde su base se lanza otro objeto B verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s.

a)  Calcular la posición de los objetos cuando se cruzan.

b)  Velocidad de los dos cuerpos cuando llegan al suelo.

 

 

Solución:

Datos: y₁ = 40 m; v_A,0 = 0; v_B,0 = 20 m/s; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento del objeto A:

v_A = –g t                y_A = y₁ – (1/2) g t²

Ecuaciones del movimiento del objeto B:

v_B = v_B,0 – g t          y_B = v_B,0 t – (1/2) g t²

a)  Cuando ambos objetos se encuentren, y_A = y_B, luego:

y₁ – (1/2) g t² = v_B,0 t – (1/2) g t²

y₁ = v_B,0 t → t = y₁/v_B,0

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de posición de los objetos, por ejemplo, en el de A, tenemos que:

y_A = y₁ – (1/2) g (y₁/v_B,0)²

y_A = (40 m) – (1/2)·(9,8 m/s²)·[40 m/(20 m/s)]² = 20 m

b)  Cuando los objetos lleguen al suelo, y_A e y_B serán igual a cero, por tanto:

0 = y₁ – (1/2) g t² → g t² = 2y₁ → t² 2y₁/g

La velocidad con la que llega al suelo el objeto A es 28 m/s. El signo negativo indica que está bajando.

0 = v_B,0 t – (1/2) g t² → g t² – 2v_B,0 t = 0 → t·(g t – 2v_B,0) = 0

Primera solución:

t  = 0 (cuando el objeto B se encuentra en el punto de partida)

Segunda solución:

g t – 2v_B,0 = 0 → t = 2v_B,0/g

v_B = v_B,0 – g·(2v_B,0/g) = v_B,0 – 2v_B,0 = –v_B,0

v_B = –20 m/s

La velocidad con la que llega al suelo el objeto B es 20 m/s. El signo negativo indica que está bajando.