Móviles al encuentro y en persecución 05
Desde lo alto de una torre de 40 metros de altura se deja caer un objeto A sin velocidad inicial. Simultáneamente, desde su base se lanza otro objeto B verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s.
a) Calcular la posición de los objetos cuando se cruzan.
b) Velocidad de los dos cuerpos cuando llegan al suelo.
Solución:
Datos: y1 = 40 m; vA,0 = 0; vB,0 = 20 m/s; g = 9,8 m/s2
Ecuaciones del movimiento del objeto A:
vA = –g t yA = y1 – (1/2) g t2
Ecuaciones del movimiento del objeto B:
vB = vB,0 – g t yB = vB,0 t – (1/2) g t2
a) Cuando ambos objetos se encuentren, yA = yB, luego:
y1 – (1/2) g t2 = vB,0 t – (1/2) g t2
y1 = vB,0 t → t = y1/vB,0
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de posición de los objetos, por ejemplo, en el de A, tenemos que:
yA = y1 – (1/2) g (y1/vB,0)2
yA = (40 m) – (1/2)·(9,8 m/s2)·[40 m/(20 m/s)]2 = 20 m
b) Cuando los objetos lleguen al suelo, yA e yB serán igual a cero, por tanto:
0 = y1 – (1/2) g t2 → g t2 = 2y1 → t2 2y1/g
La velocidad con la que llega al suelo el objeto A es 28 m/s. El signo negativo indica que está bajando.
0 = vB,0 t – (1/2) g t2 → g t2 – 2vB,0 t = 0 → t·(g t – 2vB,0) = 0
Primera solución:
t = 0 (cuando el objeto B se encuentra en el punto de partida)
Segunda solución:
g t – 2vB,0 = 0 → t = 2vB,0/g
vB = vB,0 – g·(2vB,0/g) = vB,0 – 2vB,0 = –vB,0
vB = –20 m/s
La velocidad con la que llega al suelo el objeto B es 20 m/s. El signo negativo indica que está bajando.