El Sapo Sabio

 

Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. Dos segundos más tarde se lanza otra con una velocidad de 40 m/s. ¿Se encuentran en el aire? En caso afirmativo a qué distancia del suelo. Qué velocidad lleva cada piedra en ese instante.

 

 

Solución:

Datos:

Primera piedra: v_1,0 = 30 m/s. Segunda piedra: v_2,0 = 40 m/s. Δt = 2 s

Ecuaciones del movimiento de la primera piedra referidas al tiempo t₁:

v₁ = v_1,0 – g t₁         y₁ = v_1,0 t₁ – (1/2) g t₁²

Ecuaciones del movimiento de la segunda piedra referidas al tiempo t:

v₂ = v_2,0 – g (t – Δt)          y₂ = v_1,0 (t – Δt) – (1/2) g (t – Δt)²

Relación entre tiempos:

Cuando se mide el tiempo con un reloj lo que realmente se mide es el ángulo que gira una aguja a partir de una posición de partida arbitraria.

Comienza a moverse el primer móvil:

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t = Δt.

Ahora comienza el movimiento del segundo.

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t (ángulo contado desde t = 0).

El segundo móvil lleva moviéndose un tiempo t’ (ángulo contado desde t’ = 0).

Evidentemente t = Δt + t’, por tanto: t’ = t – Δt

Es importante recordar que el móvil que sale más tarde circula menos tiempo.

Volviendo al problema que debemos resolver, tenemos que en el instante t₁ las posiciones de las piedras serán:

y₁ = v₀ t₁ – (1/2) g t₁²

y₂ = v_2,0 (t₁ – Δt) – (1/2) g (t₁ – Δt)²

Si se ha producido el encuentro las posiciones serán iguales, es decir, ambas estarán a la misma altura del suelo, luego y₁ = y₂, por tanto:

v_1,0 t₁ – (1/2) g t₁² = v_2,0 (t₁ – Δt) – (1/2) g (t₁ – Δt)²

v_1,0 t₁ – (1/2) g t₁² = v_2,0 t₁ – v_2,0 Δt – (1/2) g [t₁² – 2 t₁ Δt + (Δt)²]

v_1,0 t₁ – (1/2) g t₁² = v_2,0 t₁ – v_2,0 Δt – (1/2) g t₁² + g t₁ Δt – (1/2) g (Δt)²

v_1,0 t₁ = v_2,0 t₁ – v_2,0 Δt + g t₁ Δt – (1/2) g (Δt)²

v_1,0 t₁ – v_2,0 t₁ – g t₁ Δt = – v_2,0 Δt – (1/2) g (Δt)²

(v_1,0 – v_2,0 – g Δt) t₁ = –v_2,0 Δt – (1/2) g (Δt)²

t₁ = –[v_2,0 Δt  + (1/2) g (Δt)²]/(v_1,0 – v_2,0 – g Δt)

t₁ = – [(40 m/s)·2 s + (1/2)·(9,8 m/s²)·(2 s)² ]/[(30 m/s) – (40 m/s) – (9,8 m/s²)·2 s]

t₁ = –99,6 m/(–29,6 m/s) = 3,4 s

Las piedras se encuentran a los 3,4 s de lanzarse la primera y a 1,4 s de lanzar la segunda.

Posición de encuentro:

y₁ = y₂ = (30 s)·3,4 s – (1/2)·(9,8 m/s²)·(3,4 s)² = 45,4 m

Las piedras sí se encuentran en el aire y lo hacen a 45,4 metros desde el punto en donde se lanzaron.

Velocidades de ambas piedras:

v₁ = (30 m/s) – (9,8 m/s²)·3,4 s = –3,3 m/s

La velocidad de la primera piedra es 3,3 m/s. El signo negativo indica que la piedra está bajando.

v₂ = (40 m/s) – (9,8 m/s²)·1,4 s = 26,3 m/s     

La velocidad de la segunda piedra es 26,3 m/s. En este caso la piedra está subiendo.