Móviles al encuentro y en persecución 04

 

Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. Dos segundos más tarde se lanza otra con una velocidad de 40 m/s. ¿Se encuentran en el aire? En caso afirmativo a qué distancia del suelo. Qué velocidad lleva cada piedra en ese instante.

 

 

Solución:

Datos:

Primera piedra: v1,0 = 30 m/s. Segunda piedra: v2,0 = 40 m/s. Δt = 2 s

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 1

Ecuaciones del movimiento de la primera piedra referidas al tiempo t1:

v1 = v1,0 – g t1         y1 = v1,0 t1 – (1/2) g t12

Ecuaciones del movimiento de la segunda piedra referidas al tiempo t:

v2 = v2,0 – g (t – Δt)          y2 = v1,0 (t – Δt) – (1/2) g (t – Δt)2

Relación entre tiempos:

Cuando se mide el tiempo con un reloj lo que realmente se mide es el ángulo que gira una aguja a partir de una posición de partida arbitraria.

Comienza a moverse el primer móvil:

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 2

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t = Δt.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 3

Ahora comienza el movimiento del segundo.

GRAVES MOVILES AL ENCUENTRO 04, 4

El primer móvil lleva moviéndose un tiempo t (ángulo contado desde t = 0).

El segundo móvil lleva moviéndose un tiempo t’ (ángulo contado desde t’ = 0).

Evidentemente t = Δt + t’, por tanto: t’ = t – Δt

Es importante recordar que el móvil que sale más tarde circula menos tiempo.

Volviendo al problema que debemos resolver, tenemos que en el instante t1 las posiciones de las piedras serán:

y1 = v0 t1 – (1/2) g t12

y2 = v2,0 (t1 – Δt) – (1/2) g (t1 – Δt)2

Si se ha producido el encuentro las posiciones serán iguales, es decir, ambas estarán a la misma altura del suelo, luego y1 = y2, por tanto:

v1,0 t1 – (1/2) g t12 = v2,0 (t1 – Δt) – (1/2) g (t1 – Δt)2

v1,0 t1 – (1/2) g t12 = v2,0 t1 – v2,0 Δt – (1/2) g [t12 – 2 t1 Δt + (Δt)2]

v1,0 t1 – (1/2) g t12 = v2,0 t1 – v2,0 Δt – (1/2) g t12 + g t1 Δt – (1/2) g (Δt)2

v1,0 t1 = v2,0 t1 – v2,0 Δt + g t1 Δt – (1/2) g (Δt)2

v1,0 t1 – v2,0 t1 – g t1 Δt = – v2,0 Δt – (1/2) g (Δt)2

(v1,0 – v2,0 – g Δt) t1 = –v2,0 Δt – (1/2) g (Δt)2

t1 = –[v2,0 Δt  + (1/2) g (Δt)2]/(v1,0 – v2,0 – g Δt)

t1 = – [(40 m/s)·2 s + (1/2)·(9,8 m/s2)·(2 s)2 ]/[(30 m/s) – (40 m/s) – (9,8 m/s2)·2 s]

t1 = –99,6 m/(–29,6 m/s) = 3,4 s

Las piedras se encuentran a los 3,4 s de lanzarse la primera y a 1,4 s de lanzar la segunda.

Posición de encuentro:

y1 = y2 = (30 s)·3,4 s – (1/2)·(9,8 m/s2)·(3,4 s)2 = 45,4 m

Las piedras sí se encuentran en el aire y lo hacen a 45,4 metros desde el punto en donde se lanzaron.

Velocidades de ambas piedras:

v1 = (30 m/s) – (9,8 m/s2)·3,4 s = –3,3 m/s

La velocidad de la primera piedra es 3,3 m/s. El signo negativo indica que la piedra está bajando.

v2 = (40 m/s) – (9,8 m/s2)·1,4 s = 26,3 m/s     

La velocidad de la segunda piedra es 26,3 m/s. En este caso la piedra está subiendo.

 

 


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