El Sapo Sabio

 

Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 72 km/h. Calcula:

a)  Posición que ocupa y velocidadal cabo de 1 s.

b)  Altura máxima que alcanza y tiempo empleado.

c)  Altura que ocupa cuando v = 30 km/h.

d)  Velocidad cuando t = 3 s. ¿Sube o baja? ¿Por qué?

e)  Velocidad al llegar al suelo y tiempo empleado.

d)  Gráfica velocidad–tiempo.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 20 m/s; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ – g t             y = v₀ t – (1/2) g t²

a)  Dato: t = 1 s

y = (20 m/s)·1 s – (1/2)·(9,8 m/s²)·(1 s)² = 15,1 m

v = (20 m/s) – (9,8 m/s²)·1 s = 10,2 m/s

b)  La altura máxima se alcanza cuando su velocidad es cero.

0 = v₀ – g t → g t = v₀ → t = v₀/g

t = (20 m/s)/(9,8 m/s²) = 2 s

y_max = (20 m/s)·2 s – (1/2)·(9,8 m/s²)·(2 s)² = 20 m

c)  Dato: v = 8,3 m/s

v = v₀ – g t → g t = v₀ – v → t = (v₀ – v)/g

y = [v₀ (v₀ – v)/g] – (1/2) g [(v₀ – v)/g]²

y = [v₀ (v₀ – v)/g] – [(v₀ – v)²/2g]

y = [2v₀ (v₀ – v)/2g] – [(v₀ – v)²/2g]

y = [(v₀ – v)/2g]·[2v₀ – [(v₀ – v)]

y = [(v₀ – v)/2g]·(v₀ + v)

y =(v₀² – v²)/2g

y = [(20 m/s)² – (8,3 m/s)²/(2·9,8 m/s²) = 17 m

d)  Dato: t = 3 s

v = (20 m/s) – (9,8 m/s²)·3 s = –9,4 m/s

 

Está bajando ya que el signo del resultado es negativo.

e)  Cuando llegue al suelo y = 0.

0 = v₀ t – (1/2) g t² → g t² – 2v₀ t = 0 → t (g t – 2v₀) = 0

Primera solución:

t = 0

Esto ocurre cuando se inicia el movimiento.

Segunda solución:

g t – v₀ = 0 → g t = v₀ → t = 2v₀/g

t = (2·20 m/s)/(9,8 m/s²) = 4 s

Esto sucede cuando el cuerpo regresa al punto de partida.

v = v₀ – g t

v = (20 m/s) – (9,8 m/s²)·4 s = –19 m/s

El signo negativo indica que el cuerpo está bajando.

f)  Ecuación de la velocidad:

v = 20 – 9,8 t

t = 0 → v = 20

t = 5 → v = –29