El Sapo Sabio

 

Desde el tejado de un edificio de 30 metros de altura se deja caer una piedra. Averigua:

a)  Posición y velocidad al cabo de 1 segundo.

b)  Tiempo que tardará en llegar al suelo y con qué velocidad lo hará.

c)  Distancia al suelo cuando vaya bajando a 10 m/s.

d)  Cuánto tendrá que caer hasta alcanzar una velocidad de 15 m/s.

e)  Qué velocidad tendrá cuando le falten 10 metros para llegar al suelo.

 

 

Solución:

El problema se puede realizar de dos formas distintas, la primera es si el observador (origen de coordenadas) se encuentra en el tejado y la segunda si el observador está en el suelo.

Observador en el tejado:

Datos: y = –30 m; v₀ = 0; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v = –g t                 y = –(1/2) g t²

a)  Dato: t₁ = 1 s

y₁ = –(1/2)·(9,8 m/s²)·(1 s)² = –4,9 m

v₁ = –( 9,8 m/s²)·(1 s) = –9,8 m/s

La piedra se encuentra a 4,9 metros por debajo del observador y bajando a velocidad de 9,8 m/s (lo indican los signos negativos)

b)  Cuando la piedra llegue al suelo y = –30 m.

y = –(1/2) g t² → g t² = –2y → t² = –2y/g

El signo negativo indica que la piedra está bajando.

c)  Dato: v = 10 m/s

v = –g t → t = –v/g

y = –(1/2) g (–v/g)² = –v²/2g 

y = –(10 m/s)²/(2·9,8 m/s²) = –5 m

La piedra está a 5 metros  por debajo del observador y por tanto a 25 metros por encima del suelo (30 – 5 = 25)

d)  Dato: v = 15 m/s

Del apartado anterior:

y = –v²/2g 

y = –(15 m/s)²/(2·9,8 m/s²) = –11,5 m

Para conseguir una velocidad de 15 m/s, la piedra ha de caer 11,5 metros.

e)  Cuando le falten 10 metros para llegar al suelo, habrá bajado 20 metros, luego y₁ = –20 m

Del apartado b):

Observador en el suelo:

Datos: y₀ = 30 m; v₀ = 0; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v = –g t                 y = y₀ – (1/2) g t²

a)  Dato: t₁ = 1 s

y₁ = 30 m – (1/2)·(9,8 m/s²)·(1 s)² = 25,1 m

v₁ = –( 9,8 m/s²)·(1 s) = –9,8 m/s

La piedra está a 25,1 metro sobre el observador y bajando a 9,8 m/s.

b)  Cuando la piedra llegue al suelo y = 0.

0 = y₀ – (1/2) g t² → g t² = 2y₀ → t² = 2y₀/g

c)  Dato: v = 10 m/s

v = –g t → t = –v/g

y = y₀ – (1/2) g (–v/g)² = y₀ – (v²/2g)

y = 30 m – [(10 m/s)²/(2·9,8 m/s²)] = 25 m

La piedra está a 25 metros por encima del observador y por tanto 5 m por debajo del tejado.

d)  Dato: v = 15 m/s

Del apartado anterior tenemos que:

y = y₀ – (v²/2g) 

y = 30 m – [(15 m/s)²/(2·9,8 m/s²)] = 18,5 m

y₁ = 30 m – 18,5 = 11,5 m

e)  Dato: y₂ = 10 m

y₂ = y₀ – (1/2) g t² → g t² = 2(y₀ – y₂) → t² = 2(y₀ – y)/g