El Sapo Sabio

 

Desde el tejado de un edificio de 10 metros de altura se lanza hacia abajo una piedra a 3 m/s. Determina:

a)  Qué velocidad tendrá cuando haya caído 5 metros.

b)  Cuánto tendrá que caer hasta alcanzar una velocidad de 5 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo.

c)  Cuándo le faltarán 3 metros para llegar al suelo.

d)  Tiempo que tarda en llegar al suelo y con qué velocidad lo hará.

e)  Cuánto habrá caído en 2 segundos.

 

 

Solución:

Datos: y = –10 m; v₀ = 3 m/s; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v = –v₀ – g t           y = –v₀ t – (1/2) g t²

a)  Dato: y₁ = –5 m

g t = –v₀ – v

t = –(v₀ + v)/g

y₁ = v₀ [(v₀ + v)/g] – (1/2) g [(v₀ + v)/g]²

2y₁ = 2v₀ [(v₀ + v)/g] – [(v₀ + v)²/g]

2y₁ g = 2v₀ (v₀ + v) – (v₀ + v)²

2y₁ g = (v₀ + v)·[2v₀ – (v₀ + v)]

2y₁ g = (v₀ + v)·(v₀ – v)

2y₁ g = v₀² – v²

v² = v₀² – 2y₁ g

b)  Dato: v = –5 m/s

Del apartado anterior:

Altura recorrida:

y₂ = (v₀² – v²)/2g

y₂ = [(3 m/s)² – (–5 m/s)²)]/(2·9,8 m/s²) = –0,8 m

El signo negativo indica que el móvil está bajando.

Tiempo que tarda:

t₂ = –[(–5 m/s) + (3 m/s)]/(9,8 m/s²) = 0,2 s

c)  Si le faltan 3 metros para llegar al suelo estará a 7 metros por debajo del origen, es decir: y = –7 m.

y = –v₀ t – (1/2) g t² → (1/2) g t² + v₀ t + y = 0

La raíz negativa no sirve pues daría un tiempo negativo.

El tiempo necesario para que el móvil esté a tres metros del suelo es de 0,9 segundos.

d)  Cuando la piedra esté en el suelo y = –10 m.

Tiempo que tarda en llegar al suelo:

Velocidad con la que llega al suelo:

v  = (–3 m/s) – (9,8 m/s²)·1,2 s = –14,8 m/s

e)  Dato: t = 2 s

Como, según el apartado anterior, el tiempo que permanece en el aire es 1,2 segundos, a los 2 segundos hará 0,8 segundos que la piedra estará en el suelo y posiblemente esté en reposo.