Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 01

 

Se deja caer una caja de 8 kg de masa por un plano inclinado desde una altura inicial de 10 m. La caja está sometida a una fuerza de rozamiento de 7 N y recorre una distancia de 20 m hasta llegar a la base del plano. Calcula la velocidad final de la caja.

 
Solución:
 
Datos: v0 = 0; m = 8 kg; h = 10 m; Fr = 7 N; x = 20 m
 
 

Por el principio de conservación de la energía:

 

 

Nota. –  Si en Ep (B) = m g h, tenemos en cuenta que h = x sen α y hacemos la sustitución, tendremos que Ep (B) = m g sen α · x, que es el trabajo realizado por el peso.

 
Este problema también se puede hacer de la siguiente manera:
 
Por el principio de conservación de la energía:
 
 
Cálculo del trabajo:
 
 

El trabajo realizado por el peso (Wp) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

WN = N x cos 90º = 0
 
La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.
 
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:
 
Wr = Fr x cos 180º = Fr x
 
Variación de la energía cinética:
 
ΔEc = Ec (A) – Ec (B) = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2
 
Variación de la energía potencial:
 
ΔEp = Ep (A) – Ep (B) = 0 – m g h = –m g h
 
De todo lo anterior se obtiene:
 
–Fr x = (1/2) m v2 – m g h → (1/2) m v2 = m g h – Fr x
 
m v2 = 2 (m g h – Fr x) → v2 = 2 (m g h – Fr x) / m  
 
 
Con lo que se llega a la misma expresión que en la forma anterior.
 
Otra manera más simple de realizar este problema, es mediante el siguiente razonamiento:
 
Inicialmente, la única energía que posee la caja es potencial, ya que está a cierta altura pero parada y finalmente sólo tiene energía cinética, ya que no se encuentra a altura alguna con relación a la base del plano inclinado. La diferencia entre ambas energía se debe al trabajo disipado en el rozamiento, por tanto: 
 
 

Ec (A) – Ep (B) = Wr
 
(1/2) m v2 – m g h = Fr x cos 180º
 
(1/2) m v2 – m g h = –Fr x → v2 = 2 (m g h – Fr x) / m   
 
 
 
 
También podemos realizar el problema aplicando, primero  dinámica y después cinemática, aunque, en este caso, no estaremos dentro del tema de conservación de energía.
 
Primero utilizaremos dinámica, para hallar la aceleración con la que baja la caja:
 
Fuerzas que actúan sobre la caja y descomposición de las mismas:
 
 

Fuerzas tangenciales:

 

P sen α – Fr = m a → a = (m g sen α – Fr) / m = [m g (h / x) – Fr] / m

 

a = [8 kg · 9,8 (m/s2) · (10 m / 20 m) – 7 N] / 8 kg = 4,025 m /s2  

 

Ahora utilizaremos cinemática, para hallar la velocidad con la que llega la caja a la base del plano inclinado:

 

v = v0 + a t                  x = v0 t + (1/2) a t2

 

Para poder hallar v, necesitamos conocer el tiempo que tarda la caja en bajar, ya que la velocidad inicial es cero. Para ello utilizaremos la segunda expresión:

 

20 m = (1/2) · 4,025 (m/s2) t2 →t = 3,15 s

 

v = 4,025 (m/s2) · 3,15 s = 12,7 m/s

 

Se puede ver, que se ha obtenido el mismo resultado que en los casos anteriores y que no ha hecho falta averiguar el ángulo α.

 
 
 
  

8 comentarios para “Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 01”

  • facundo:

    me parece que la fuerza peso tiene q estar descompuesta, es decir P = P.sen 30

  • Miralles:

    Hola facundo:
    En respuesta al comentario que haces sobre este problema, he de decirte que el peso ya está incluido en la energía potencial, luego no hay que descomponerlo.
    Otra cosa, en el enunciado del problema no dice nada sobre el valor del ángulo del plano inclinado, por tanto, ¿de dónde deduces que sea de 30º?

  • cavador:

    el trabajo del fuerza de rozamiento es negativo, lo correcto seria, -fx=emA-emB, obteniendose tambien el mismo resultado

  • Miralles:

    Si, porque si multiplicas todos los términos de tu ecuación por -1, resulta la misma ecuación que la del problema resuelto.

  • nnovato:

    con respecto a lo que dice facundo del peso. se podria calcular el angulo con la razon trigonometrica seno= cateto opuesto/hipotenusa. ademas el peso realiza un trabajo

  • Miralles:

    Hola nnovato:
    Con respecto a lo que dices sobre el cálculo del ángulo, en este caso, sí se puede hallar, pues conocemos la hipotenusa (x) y el cateto opuesto (h) y en cuanto al trabajo realizado por el peso, tengo que decirte lo siguiente:
    Este tipo de problema se puede resolver por energías o por dinámica – cinemática. En el primer caso, no hace falta el ángulo y el trabajo realizado por el peso está incluido en la variación de energía potencial. En el segundo caso, sí hace falta conocer el ángulo o los datos con los que se puedan hallar las razones trigonométricas del ángulo y tener en cuenta el peso del cuerpo cuando se haga la descomposición del vector peso (mg sen a y mg cos a).
    Pero debemos tener en cuenta que estamo dentro del tema de conservación de la energía, por tanto, hemos realizado el problema por energías.
    Próximamente añadiremos a este problema su resolución por dinámica-cinemática.
    Gracias por tu comentario.

  • Elvis:

    Estimado: Es la primera vez que visito la página y me parece excelente la resolución del presente ejercicio. En primer lugar quiero agradecer que compartas tus conocimientos a través de este medio y así aportar a la comunidad cibernauta. Eso sí, tengo una duda: ¿Cuál es el fundamento teórico de que el trabajo realizado por el peso no se considere en el planteamiento, sabiendo que sea distinto de cero? Se tiene claro que el peso influye en la energía potencial, pero no me queda claro. Se agradecerá su respuesta. Saludos desde Chile.

  • Miralles:

    Hola Elvis:
    La respuesta a tu pregunta se encuentra en la nota de la primera parte de la resolución del problema en donde esta publicado tu comentario, y dice lo siguiente:
    Nota. – Si en Ep (B) = m g h, tenemos en cuenta que h = x sen α y hacemos la sustitución, tendremos que Ep (B) = m g sen α • x, que es el trabajo realizado por el peso.
    Un saludo.

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