El Sapo Sabio

 

Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro situado 40 metros más atrás, sale a su persecución, recorriendo 90 metros con una aceleración de 5 m/s² y continuando luego con velocidad constante.

a)  Deduce cinemáticamente si el conejo se salvará.

b)  Razona matemáticamente que ocurrirá si la madriguera se encontrara 100 metros más lejos.

 

 

Solución:

Datos: v = 72 km/h; x₀ = 40 m; x₁ = 90 m; x₂ = (200 + 40) m = 240 m; a = 5 m/s²

a) Ecuación del conejo:

x₂ = x₀ + v t

Ecuaciones del perro:

Primera parte del recorrido:

v₁ = a t₁                 x₁ = (1/2) a t₁²

Segunda parte del recorrido:

x₃ = x₁ + v₁ t₂ = x₁ + a t₁ t₂

Veamos el espacio que recorre el perro en el tiempo que el conejo llega a la entrada de la madriguera, es decir cuando t = t₁ + t₂.

Tiempo que tarda el conejo en llegar a la madriguera:

t = (x₂ – x₀)/v

Tiempo que tarda el perro en la segunda parte del recorrido:

t₂ = (x₃ – x₁)/a t₁

(x₂ – x₀)/v = t₁ + [(x₃ – x₁)/a t₁]

[(x₂ – x₀)/v] a t₁ = t₁² a + x₃ – x₁

x₃ = [(x₂ – x₀)/v] a t₁ – t₁² a + x₁

De la ecuación del espacio de la primera parte del recorrido del perro tenemos que:

t₁² = 2x₁/a

Sustituyendo en la ecuación obtenida en la segunda parte del recorrido del perro, tenemos que:

Cuando el conejo llega a la madriguera, el perro ha recorrido 210 metros luego le faltan 30 metros para alcanzarle. Por tanto el conejo se escapa.

b)  Ahora, x₂ = 340 m, luego:

En este caso al perro le sobran 20 metros, luego si alcanza al conejo.

 

 

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