El Sapo Sabio

 

Un barco va navegando a 9 m/s cuando aparece otro a 1900 metros navegando a su encuentro a 5 m/s. El primer barco invierte los motores adquiriendo así una deceleración de 0,05 m/s². ¿Chocarán? En caso afirmativo, ¿dónde ocurrirá y cuál será la velocidad de cada uno?

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 9 m/s; a = 0,05 m/s²; x₀ = 1900 m; v’ = 5 m/s

Ecuaciones del movimiento del primer barco:

v = –v₀ + a t          x = x₀ – v₀ t + (1/2) a t²

Ecuación del movimiento del segundo barco:

x' = v’ t

Si los barcos chocan x = x’, luego:

x₀ – v₀ t + (1/2) a t² = v’ t

Despejando t de la ecuación del segundo barco y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene:

t = x’/v’ = x/v’

x₀ – v₀ (x/v’) + (1/2) a (x/v’)² = v’ (x/v’)

x = x₀ – v₀ (x/v’) + (1/2) a (x²/v’²)

2v’² x = 2v’² x₀ – 2v₀ v’ x + a x²

a x² – 2v₀ v’ x – 2v’² x + 2v’² x₀ = 0

a x² – 2 (v₀ + v’) v’ x + 2v’² x₀ = 0

Los barcos chocan cuando se encuentran a 1155 metros de la posición inicial del segundo barco, pero si en vez de chocar se cruzaran volverían a encontrarse a 1645 m  de dicha posición, pues el primero, al invertir sus motores, después de un cierto tiempo se parará y luego iniciará el movimiento en sentido del segundo barco volviendo a alcanzarlo.

El segundo barco lleva un movimiento rectilíneo uniforme luego su velocidad es constante en todo momento, por lo tanto cuando choque su velocidad es  5 m/s.

La velocidad del primero en el momento del choque es:

t = x’/v’ = 1155 m/(5 m/s) = 231 s

v = (–9 m/s) + (0,05 m/s²)·231 s = 2,55 m/s

El signo positivo de la velocidad indica que ya se está moviendo hacia la derecha, o sea, en el sentido del segundo pero más lentamente, por eso es alcanzado por éste.