Móviles al encuentro y en persecución 13
Un barco va navegando a 9 m/s cuando aparece otro a 1900 metros navegando a su encuentro a 5 m/s. El primer barco invierte los motores adquiriendo así una deceleración de 0,05 m/s2. ¿Chocarán? En caso afirmativo, ¿dónde ocurrirá y cuál será la velocidad de cada uno?
Solución:
Datos: v0 = 9 m/s; a = 0,05 m/s2; x0 = 1900 m; v’ = 5 m/s
Ecuaciones del movimiento del primer barco:
v = –v0 + a t x = x0 – v0 t + (1/2) a t2
Ecuación del movimiento del segundo barco:
x' = v’ t
Si los barcos chocan x = x’, luego:
x0 – v0 t + (1/2) a t2 = v’ t
Despejando t de la ecuación del segundo barco y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene:
t = x’/v’ = x/v’
x0 – v0 (x/v’) + (1/2) a (x/v’)2 = v’ (x/v’)
x = x0 – v0 (x/v’) + (1/2) a (x2/v’2)
2v’2 x = 2v’2 x0 – 2v0 v’ x + a x2
a x2 – 2v0 v’ x – 2v’2 x + 2v’2 x0 = 0
a x2 – 2 (v0 + v’) v’ x + 2v’2 x0 = 0
Los barcos chocan cuando se encuentran a 1155 metros de la posición inicial del segundo barco, pero si en vez de chocar se cruzaran volverían a encontrarse a 1645 m de dicha posición, pues el primero, al invertir sus motores, después de un cierto tiempo se parará y luego iniciará el movimiento en sentido del segundo barco volviendo a alcanzarlo.
El segundo barco lleva un movimiento rectilíneo uniforme luego su velocidad es constante en todo momento, por lo tanto cuando choque su velocidad es 5 m/s.
La velocidad del primero en el momento del choque es:
t = x’/v’ = 1155 m/(5 m/s) = 231 s
v = (–9 m/s) + (0,05 m/s2)·231 s = 2,55 m/s
El signo positivo de la velocidad indica que ya se está moviendo hacia la derecha, o sea, en el sentido del segundo pero más lentamente, por eso es alcanzado por éste.