Móviles al encuentro y en persecución 12

 

Un tren de viajeros marcha a 30 m/s cuando el maquinista ve 180 metros delante, un tren de mercancías por la misma vía circulando en su mismo sentido a 9 m/s. El mencionado maquinista aplica los frenos que comunican una deceleración de 1,2 m/s2. Determina:

a)  Dónde chocarán.

b)  Mínima aceleración de frenado necesaria para que no se produzca el choque.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 30 m/s; x’0 = 180 m; v’ = 9 m/s; a = 1,2 m/s2

MRUA MOVILES AL ENCUANTRO 12, 01

Ecuaciones de los movimientos:

Tren de viajeros:

v = v0 – a t             x = v0 t – (1/2) a t2

Tren de mercancías:

x' = x’0 + v’ t

a)  En el punto de encuentro se cumple que x = x’, por tanto:

v0 t – (1/2) a t2 = x’0 + v’ t

(1/2) a t2 – v0 t + v’ t + x’0 = 0

(1/2) a t2 – (v’ – v0) t + x’0 = 0

MRUA MOVILES AL ENCUANTRO 12, 02

Para interpretar los dos resultados obtenidos, vamos a calcular el lugar del choque y la velocidad del tren de pasajeros correspondientes a cada tiempo.

MRUA MOVILES AL ENCUANTRO 12, 03

MRUA MOVILES AL ENCUANTRO 12, 04

A los 15 segundos se produce un choque a 315 metros del origen de coordenadas (observador), yendo el tren de viajeros a 12 m/s.

A los 20 segundos se producirá otro choque a 360 metros del origen de coordenadas (observador), yendo el tren de viajeros a 6 m/s.

Es evidente que una vez que se produce el primer choque, las ecuaciones del movimiento dejan de ser validas y no tiene sentido la segunda solución, pero cabe preguntar cuál es el significado de la segunda solución.

Supongamos que los trenes van por vías paralelas y en lugar de chocar simplemente se cruzan. ¿Cómo puede ser que se crucen dos veces?

La respuesta es que cuando se produce el primer cruce, a los 15 segundos, el tren de viajeros va más deprisa que el tren de mercancías y le adelanta; pero sigue frenando y el segundo cruce se produce (t = 20 s) cuando el de mercancías, que no ha cambiado de velocidad, alcanza al tren de pasajeros.

b)  A primera vista, parece que la condición para que no haya choque es que la velocidad del tren de viajeros, en el momento del alcance, sea cero. ¡Pero no es así!, ya que es suficiente con que en el momento del alcance, ambos trenes tengan las mismas velocidades.

Por tanto en el instante del encuentro se debe cumplir que x = x’ y v = v’.

v0 – a t = v’ → a t = v0 – v’

t = (v0 – v’)/a

Del apartado anterior tenemos que:

v0 t – (1/2) a t2 = x’0 + v’ t

Sustituyendo el valor anterior de t:

 v0 [(v0 – v’)/a] – (1/2) a [(v0 – v’)/a]2 = x’0 + v’ [(v0 – v’)/a]

v0 [(v0 – v’)/a] – (1/2) a [(v0 – v’)2/a2] – v’ [(v0 – v’)/a] = x’0

v0 [(v0 – v’)/a] – [(v0 – v’)2/2a] – v’ [(v0 – v’)/a] = x’0

v0 (v0 – v’) – [(v0 – v’)2/2] – v’ (v0 – v’) = a x’0

(v0 – v’) {v0 – [(v0 – v’)/2] – v’} = a x’0

a x’0 = (v0 – v’) [(2v0 – v0 + v’– 2v’)/2]

a x’0 = (v0 – v’) [(v0 – v’)/2]

a x’0 = (v0 – v’)2/2

a = (v0 – v’)2/2x’0

a = [(30 – 9)2 (m2/s2)/(2·180 m) = 1,23 m/s2

 

 


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