El Sapo Sabio

 

Un automóvil lleva velocidad constante de 90 km/h, y otro se mueve con aceleración constante de 0,72 km/min², partiendo con una velocidad de 2 m/s. Si se mueven en sentidos contrarios y los orígenes distan 1 km:

a)  ¿Dónde se encuentran?

b)  ¿Cuánto tiempo tardan?

c)  Traza la gráfica espacio–tiempo.

 

 

Solución:

Datos:

Primer automóvil: v₁ = 90 km/h = 25 m/s; x_1,0 = 0

Segundo automóvil: a₂ = 0,72 km/min² = 0,2 m/s²; v_2,0 = 2 m/s; x_2,0 = 1 km = 1000 m

Ecuación del primer automóvil: x₁ = v₁ t

Ecuación del segundo automóvil: x₂ = x_2,0 – v_2,0 t – (1/2) a₂ t²

a)  El tiempo que tardan en encontrarse ambos automóviles es el mismo ya que los dos vehículos empiezan a moverse a la vez y como en el punto de encuentro ambos automóviles están a la misma distancia del punto de partida del primero, tendremos que:

x₁ = x₂

v₁ t = x_2,0 – v_2,0 t – (1/2) a₂ t²

Despejando el tiempo en la ecuación del primer automóvil y sustituyendo en la anterior expresión:

t = x₁/v₁

v₁ (x₁/v₁) = x_2,0 – v_2,0 (x₁/v₁) – (1/2) a₂ (x₁/v₁)²

x₁ = x_2,0 – v_2,0 (x₁/v₁) – (1/2) a₂ (x₁/v₁)²

2 v₁² x₁ = 2 v₁² x_2,0 – 2 v₁ v_2,0 x₁ – a₂ x₁²

a₂ x₁² + 2 v₁² x₁ + 2 v₁ v_2,0 x₁ – 2 v₁² x_2,0 = 0

a₂ x₁² + 2 (v₁ + v_2,0) v₁ x₁ – 2 v₁² x_2,0 = 0

La raíz negativa no sirve, pues nos daría un espacio negativo que indicaría que los automóviles se encuentran a la izquierda del origen, cosa que no es posible.

Los vehículos se encuentran a 825 metros de la salida del primero (origen de coordenadas).

b)  Según el apartado anterior:

t = x₁/v₁ = 825 m/25 s = 33 s

c) 

Ecuación del primer automóvil: x₁ = 25 t

Ecuación del segundo automóvil: x₂ = 1000 – 2 t – 0,1 t²

Tabla de valores:

	Primer automóvil	Segundo automóvil
Tiempo (s)	Espacio (m)	Espacio (m)
0	0	1000
10	250	970
20	500	920
30	750	850
33	825	825

Gráfica: