Móviles al encuentro y en persecución 04
Un automóvil lleva velocidad constante de 90 km/h, y otro se mueve con aceleración constante de 0,72 km/min2, partiendo con una velocidad de 2 m/s. Si se mueven en sentidos contrarios y los orígenes distan 1 km:
a) ¿Dónde se encuentran?
b) ¿Cuánto tiempo tardan?
c) Traza la gráfica espacio–tiempo.
Solución:
Datos:
Primer automóvil: v1 = 90 km/h = 25 m/s; x1,0 = 0
Segundo automóvil: a2 = 0,72 km/min2 = 0,2 m/s2; v2,0 = 2 m/s; x2,0 = 1 km = 1000 m
Ecuación del primer automóvil: x1 = v1 t
Ecuación del segundo automóvil: x2 = x2,0 – v2,0 t – (1/2) a2 t2
a) El tiempo que tardan en encontrarse ambos automóviles es el mismo ya que los dos vehículos empiezan a moverse a la vez y como en el punto de encuentro ambos automóviles están a la misma distancia del punto de partida del primero, tendremos que:
x1 = x2
v1 t = x2,0 – v2,0 t – (1/2) a2 t2
Despejando el tiempo en la ecuación del primer automóvil y sustituyendo en la anterior expresión:
t = x1/v1
v1 (x1/v1) = x2,0 – v2,0 (x1/v1) – (1/2) a2 (x1/v1)2
x1 = x2,0 – v2,0 (x1/v1) – (1/2) a2 (x1/v1)2
2 v12 x1 = 2 v12 x2,0 – 2 v1 v2,0 x1 – a2 x12
a2 x12 + 2 v12 x1 + 2 v1 v2,0 x1 – 2 v12 x2,0 = 0
a2 x12 + 2 (v1 + v2,0) v1 x1 – 2 v12 x2,0 = 0
La raíz negativa no sirve, pues nos daría un espacio negativo que indicaría que los automóviles se encuentran a la izquierda del origen, cosa que no es posible.
Los vehículos se encuentran a 825 metros de la salida del primero (origen de coordenadas).
b) Según el apartado anterior:
t = x1/v1 = 825 m/25 s = 33 s
c)
Ecuación del primer automóvil: x1 = 25 t
Ecuación del segundo automóvil: x2 = 1000 – 2 t – 0,1 t2
Tabla de valores:
|
Primer automóvil |
Segundo automóvil |
Tiempo (s) |
Espacio (m) |
Espacio (m) |
0 |
0 |
1000 |
10 |
250 |
970 |
20 |
500 |
920 |
30 |
750 |
850 |
33 |
825 |
825 |
Gráfica: