Móviles al encuentro y en persecución 03
En un semáforo que cambia a verde se encuentra parado un automóvil que acelera en 5 segundos a una velocidad de 60 km/h. A la vez pasa una camioneta con una velocidad constante de 45 km/h. Halla:
a) El momento y el punto del encuentro.
b) En qué instante tendrán los dos la misma velocidad.
c) Distancia recorrida por cada uno de ellos durante el quinto segundo.
Solución:
Datos:
Automóvil: v0 = 0; t1 = 5 s; v1 = 16,7 m/s. Camioneta: v’ = 12,5 m/s
Ecuaciones del automóvil:
v = v0 + a t x = v0 t + (1/2) a t2
Ecuación de la camioneta:
x' = v’ t’
a) En el punto de encuentro el espacio recorrido y el tiempo transcurrido para ambos vehículos es el mismo, es decir, x = x’ y t = t’, luego:
0 + (1/2) a t2 = v’ t
siendo t el tiempo que tarda en alcanzar el automóvil a la camioneta.
a t2 = 2 v’ t → a t2 – 2 v’ t = 0 → t·(a t – 2 v’) = 0
Primera solución:
t = 0 (instante inicial)
Segunda solución:
a t – 2 v’ = 0 → a t = 2 v’ → t = 2 v’/a
Para poder hallar el tiempo en la segunda ecuación, necesitamos averiguar la aceleración del automóvil.
Sea v1 la velocidad del automóvil 5 segundos después de arrancar.
v1 = a t1 → a = v1/t1 = (16,7 m/s)/5 s = 3,34 m/s2
t = (2·12,5 m/s)/(3,34 m/s2) = 7,5 s
Ambos vehículos se encuentran a los 7,5 segundos de iniciar el automóvil su movimiento.
Punto de encuentro:
x = x’ = (12,5 m/s)·7,5 s = 93,8 m
El automóvil alcanza a la camioneta a 93,8 metros del semáforo, es decir, del origen.
b)
v = v’ → a t = v’ → t = v’/a = (12,5 m/s)/(3,34 m/s2) = 3,7 s
c) Como la velocidad de la camioneta es constante recorre el mismo espacio por cada segundo, luego:
x' = (12,5 m/s)·1 s = 12,5 m
En cuanto el automóvil, el espacio recorrido en el quinto segundo será igual al recorrido en cinco segundos menos el recorrido en cuatro segundos.
∆x = x5 – x4 = (1/2) a t52 – (1/2) a t42 = (1/2) a (t52 – t42)
∆x = (1/2)·(3,34 m/s2)·[(5 s)2 – (4 s)2] = 15 m