El Sapo Sabio

 

En un semáforo que cambia a verde se encuentra parado un automóvil que acelera en 5 segundos a una velocidad de 60 km/h. A la vez pasa una camioneta con una velocidad constante de 45 km/h. Halla:

a)  El momento y el punto del encuentro.

b)  En qué instante tendrán los dos la misma velocidad.

c)  Distancia recorrida por cada uno de ellos durante el quinto segundo.

 

 

Solución:

Datos:

Automóvil: v₀ = 0; t₁ = 5 s; v₁ = 16,7 m/s. Camioneta: v’ = 12,5 m/s

Ecuaciones del automóvil:

v = v₀ + a t            x = v₀ t + (1/2) a t²

Ecuación de la camioneta:

x' = v’ t’

a)  En el punto de encuentro el espacio recorrido y el tiempo transcurrido para ambos vehículos es el mismo, es decir, x = x’ y t = t’, luego:

0 + (1/2) a t² = v’ t

siendo t el tiempo que tarda en alcanzar el automóvil a la camioneta.

a t² = 2 v’ t → a t² – 2 v’ t = 0 → t·(a t – 2 v’) = 0

Primera solución:

 t  = 0 (instante inicial)

Segunda solución:

a t – 2 v’ = 0 → a t = 2 v’ → t = 2 v’/a

Para poder hallar el tiempo en la segunda ecuación, necesitamos averiguar la aceleración del automóvil.

Sea v₁ la velocidad del automóvil 5 segundos después de arrancar.

v₁ = a t₁ → a = v₁/t₁ = (16,7 m/s)/5 s = 3,34 m/s²

t = (2·12,5 m/s)/(3,34 m/s²) = 7,5 s

Ambos vehículos se encuentran a los 7,5 segundos de iniciar el automóvil su movimiento.

Punto de encuentro:

x = x’ = (12,5 m/s)·7,5 s = 93,8 m

El automóvil alcanza a la camioneta a 93,8 metros del semáforo, es decir, del origen.

b) 

v = v’ → a t = v’ → t = v’/a = (12,5 m/s)/(3,34 m/s²) = 3,7 s

c)  Como la velocidad de la camioneta es constante recorre el mismo espacio por cada segundo, luego:

x' = (12,5 m/s)·1 s = 12,5 m

En cuanto el automóvil, el espacio recorrido en el quinto segundo será igual al recorrido en cinco segundos menos el recorrido en cuatro segundos.

∆x = x₅ – x₄ = (1/2) a t₅² – (1/2) a t₄² = (1/2) a (t₅² – t₄²)

∆x = (1/2)·(3,34 m/s²)·[(5 s)² – (4 s)²] = 15 m