El Sapo Sabio

 

Dos ciudades A y B están separadas 100 km. Desde A sale un tren hacia B con una velocidad de 50 km/h y, cierto tiempo después, sale desde B otro tren hacia A con una velocidad de 75 km/h.

a)  Determina cuándo y dónde se cruzarán los trenes, suponiendo que el retardo sea 1 hora o 3 horas.

b)  Calcula el máximo retardo posible para que los trenes se crucen entre las dos ciudades.

 

 

Solución:

Datos: x’₀ = 100 km; v = 50 km/h; v’ = 75 km/h

Ecuaciones de los movimientos:

Tren que sale de A:

x = v t

Tren que sale de B:

x’ = x’₀ – v’ (t – ∆t)

b)  En el punto de encuentro se cumple que x = x’, por tanto:

v t = x’₀ – v’ (t – ∆t) → v t + v’ (t – ∆t) = x’₀

v t + v’ t – v’ ∆t = x’₀

(v + v’) t = x’₀ + v’ ∆t

Si ∆t = 1 h:

t’ = 1,4 h – 1 h = 0,4 h

x = 50 (km/h)·1,4 h = 70 km

Los trenes se cruzan 1,4 horas después de salir el primero y 0,4 horas después de salir el segundo, a 70 km de la ciudad A.

Si ∆t = 3 h:

t’ = 2,6 h – 3 h = –0,4 h

Los trenes no se cruzan, pues para que lo hicieran el tiempo del segundo tren ha de ser negativo.

b)  En caso extremo el encuentro entre los dos trenes se producirá, cuando el primer tren llegue a B en el momento en que empieza moverse el segundo.

Tiempo que tarda el tren de A en llegar a B:

El máximo retraso que puede tener la salida del segundo tren es de dos horas.

También se puede hacer de la siguiente forma:

Según el apartado anterior, el tiempo que lleva circulando cada tres en el momento del encuentro es:

En la última expresión, al aumentar Dt disminuye t’ y llegará un momento en que éste será negativo, en cuyo caso no habrá choque. El caso límite corresponderá al valor de Dt que hace t’ igual a cero, es decir: