El Sapo Sabio

 

¿Cuál es el momento del vector (0, 2, 0) cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas, respecto a un eje perpendicular al plano XY y que pasa por el punto (1, 4, –3)?

 

 

Solución:

 

Datos: v = (0, 2, 0); P(1, 4, –3) 

 

Momento de un vector con respecto a un eje (o una recta) es la proyección sobre dicho eje del momento del vector respecto a cualquier punto del eje (es independiente del punto elegido).

 

 

M_e = proyec M_P

 

Momento del vector v con respecto al punto P:

 

 

M_P = rxv

 

r = (–1, –4, 3)

 

 

M_P = (–6, 0, –2)

 

 

Teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es igual al producto escalar de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él, tenemos que:

 

M_P·PQ = M_e·PQ

 

M_e = k·PQ (k es un parámetro)

 

Luego:

 

M_P·PQ = (k·PQ)·PQ

 

Coordenadas del vector PQ:

 

PQ = [(1 – 1), (4 – 4), 0 – (–3)] = (0, 0, 3)

 

Sustituyendo:

 

(–6, 0, –2)· (0, 0, 3) = [k·(0, 0, 3)]· (0, 0, 3)

 

0 + 0 – 6 = (0, 0, 3k)·(0, 0, 3)

 

–6 = 9k → k = –6/9 = –2/3

 

M_e = (–2/3)· (0, 0, 3) = (0, 0, –2)