Momento de un vector 03
¿Cuál es el momento del vector (0, 2, 0) cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas, respecto a un eje perpendicular al plano XY y que pasa por el punto (1, 4, –3)?
Solución:
Datos: v = (0, 2, 0); P(1, 4, –3)
Momento de un vector con respecto a un eje (o una recta) es la proyección sobre dicho eje del momento del vector respecto a cualquier punto del eje (es independiente del punto elegido).
Me = proyec MP
Momento del vector v con respecto al punto P:
MP = rxv
r = (–1, –4, 3)
MP = (–6, 0, –2)
Teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es igual al producto escalar de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él, tenemos que:
MP·PQ = Me·PQ
Me = k·PQ (k es un parámetro)
Luego:
MP·PQ = (k·PQ)·PQ
Coordenadas del vector PQ:
PQ = [(1 – 1), (4 – 4), 0 – (–3)] = (0, 0, 3)
Sustituyendo:
(–6, 0, –2)· (0, 0, 3) = [k·(0, 0, 3)]· (0, 0, 3)
0 + 0 – 6 = (0, 0, 3k)·(0, 0, 3)
–6 = 9k → k = –6/9 = –2/3
Me = (–2/3)· (0, 0, 3) = (0, 0, –2)