Propagación de errores 12

 

PROPAG ERRORES-1

Halla el perímetro y el área de la figura, indicando los errores absoluto, relativo y porcentual, sabiendo que: a = (6,1 ± 0,1) cm y b = (3,2 ± 0,2) cm

 

 

Solución:

Datos: a = (6,1 ± 0,1) cm y b = (3,2 ± 0,2) cm

 

Por lo general los errores de ambas medias suelen ser iguales, pero en este problema no es así.

 

Según los datos dados en el enunciado del problema, la medida del lado a se encuentra entre 6,2 cm (valor máximo) y 6,0 cm (valor mínimo) y la del lado b entre 3,4 cm (valor máximo) y 3,0 cm.

 

Perímetro del rectángulo (P):

 

P = 2 a + 2 b = 2·(a + b)

 

Perímetro máximo:

 

P’ = 2·(6,2 cm + 3,4 cm) = 19,2 cm

 

Perímetro mínimo:

 

P” = 2·(6,0 cm + 3,0 cm) = 18,0 cm

 

El valor del perímetro será la media de los anteriores resultados, es decir:

 

P = (P’ + P”)/2 = (19,2 cm + 18,0 cm)/2 = 18,6 cm

 

Error absoluto:

 

Ea = P’ – P, o también, Ea = P – P”

 

Ea = 19,2 cm – 18,6 cm = 0,6 cm

 

P = (18,6 ± 0,6) cm

 

Se puede comprobar si el resultado es correcto viendo que si realizamos la suma se obtiene el perímetro máximo (18,6 + 0,6 = 19,2) y si se realiza la diferencia se obtiene el perímetro mínimo (18,6 – 0,6 = 18,0).

 

Error relativo:

 

Er = Ea/P = 0,6 cm/18,6 cm = 0,03

 

Error porcentual:

 

E% = 100·Er = 100·0,03 = 3%

 

Área del rectángulo (A):

 

A = a·b

 

Área máxima:

 

A’ = 6,2 cm·3,4 cm = 21,1 cm2

 

Área mínima:

 

A” = 6,0 cm·3,0 cm) = 18,0 cm2

 

El valor del área será la media de los anteriores resultados, es decir:

 

A = (A’ + A”)/2 = (21,1 cm2 + 18,0 cm2)/2 = 19,6 cm2

 

Error absoluto:

 

Ea = A’ – A, o también, Ea = A – A”

 

Ea = 21,1 cm2 – 19,6 cm2 = 1,5 cm2

 

Como error absoluto se tomará esta diferencia redondeada a una sola cifra, es decir:

 

Ea = 2 cm2

 

Siendo error absoluto de 2 unidades, no se puede expresar el valor medido escribiendo hasta las décimas de cm2. Por lo tanto se redondea también la medida obtenida, de manera que la última cifra corresponda a la unidad de cm2. Así, pues, el resultado se expresará de la siguiente forma:

 

A = (20 ± 2) cm2

 

Error relativo:

 

Er = Ea/A = 2 cm2/20 cm2 = 0,1

 

Error porcentual:

 

E% = 100·Er = 100·0,1 = 10%

 

También se puede hacer de la siguiente forma:

 

Perímetro del rectángulo (P):

 

P = 2 a + 2 b = 2·(6,1 cm + 3,2 cm) = 18,6 cm

 

Errores para la suma y para la diferencia:

 

Para la suma o la diferencia, es más fácil hallar, primero, el error absoluto (que será la suma de los errores absolutos de las medidas) y después el error relativo y el porcentual.

 

Error absoluto (Ea):

 

Ea = 2·Ea (a) + 2·Ea (b) = 2·(0,1 cm + 0,2) cm = 0,6 cm

 

P = (18,6 ± 0,6) cm

 

Error relativo:

 

Er = Ea/P = 0,6 cm/18,6 cm = 0,03

 

Error porcentual:

 

E% = 100·Er = 100·0,03 = 3%

 

Área del rectángulo (A):

 

A = a · b = 6,1 cm · 3,2 cm = 19,5 cm2

 

Errores para el producto, cociente, potenciación y radicación:

 

En estos casos, es más fácil, primero hallar el error relativo (que será la suma de los errores relativos de las medidas) y, después, el error absoluto. Para el error porcentual únicamente habrá que multiplicar por 100 el error relativo.

 

Error relativo:

 

Er = Er (a) + Er (b) = Ea (a)/a + Ea (b)/b =

 

= (0,1 cm/6,1 cm) + (0,2 cm/3,2 cm) = 0,1

 

Error porcentual:

 

E% = 100·Er = 100·0,1 = 10%

 

Error absoluto (Ea):

 

Er = Ea/A → Ea = Er · A

 

Ea = 0,1· 19,5 cm2 = 2 cm2

 

A = (20 ± 2) cm2

 

 

 


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