El Sapo Sabio

 

Comprueba, mediante el análisis dimensional, que el período de revolución de un planeta depende de la longitud del eje mayor de su trayectoria, 2r, de la masa del sol, M_s, y de la constante de gravitación universal, G.

 

 

Solución:

Según el enunciado del problema:

Τ = K (2r)^a M_s^b G^c

Por tanto debemos determinar los valores de a, b y c.

Ecuación de dimensiones del primer miembro:

[Τ] = T

Ecuación de dimensiones del segundo miembro:

[2r] = L

[M_s] = M

F = G M_s m/R² → G = F R²/M_s m

[G] = (M L T^–2) L² M^–2 = M^–1 L³ T^–2

Sustituyendo:

T¹ = L^a M^b (M^–1 L³ T^–2)^c

T¹ = L^{a + 3c} M^{b – c} T^–2c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Por tanto:

Τ = K (2r)^3/2 M_s^–1/2 G^–1/2

El coeficiente adimensional K’ vale 2π.

Con esto queda demostrado que el período de revolución depende de la longitud del semieje mayor de la órbita, de la masa del Sol y de la constante de gravitación universal G.