El Sapo Sabio

 

El extremo de una cuerda de 55 cm de longitud se ata una bola y se le hace girar en el aire con una velocidad constante  en módulo. Si la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical, calcula:

a)  Módulo de la velocidad de la bola.

b)  Número de vueltas que da en un minuto.

 

 

Solución:

Datos: L = 0,55 m; φ = 30º

a)  Fuerzas que actúan sobre la bola:

Descomposición de las fuerzas:

Los ángulos j son iguales por tener sus lados paralelos.

Según la anterior figura:

T sen φ = m a_N → T sen φ = m (v²/R)

T cos φ – P = 0 → T cos φ = m g

 Dividiendo miembro a miembro el sistema de ecuaciones hallado, tenemos que:

T sen φ/T cos φ = m (v²/R)/m g

sen φ/cos φ = (v²/R)/g

tg φ = v²/R g

v² = R g tg φ

b)  Datos: t = 60 s; θ₀ = 0 

Ecuación del movimiento circular:

θ = θ₀ + ω t → θ = 0 + ω t

θ = ω t

De la relación entre las magnitudes angulares y lineales tenemos que:

v = ω R → ω = v/R

Sustituyendo en la expresión del movimiento circular:

θ = (v/R) t

De la anterior figura tenemos que:

sen φ = R/L → R = L sen φ

θ = (v/L sen φ) t

θ = [(1,25 m/s)/0,55 m·sen 30º]·60 s = 272,7 rad

θ = 272,7 rad·(vuelta/2 π rad) = 43 vueltas