Ecuación de dimensiones 12

 

Lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad v. Calcula, por análisis dimensional, la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla, suponiendo que ambas magnitudes pueden depender de la masa del cuerpo, de la aceleración de la gravedad y de la velocidad de lanzamiento.

 

 

Solución:

Datos: [v] = L T–1; [h] = L; [t] = T; [m] = M; [g] = L T–2; h = f (v, g, m)

Experimentalmente se sabe que la altura puede depender de la velocidad, de la gravedad y de la masa, según el enunciado del problema, por tanto:

[h] = K va gb mc

Siendo K una constante (En este caso –1/2)

Sustituyendo:

L1 = (L T–1)a (L T–2)b Mc

L1 = La T–a Lb T–2b Mc = La + b T–a – 2b Mc

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

ANALISIS DIM 12, 1

–(1 – b) – 2b = 0 → –1 + b – 2b = 0

–b – 1 = 0 → b  = –1

a = 1 – (–1) = 2

Por tanto:

[h] = (–1/2) v2 g–1 m0 = –v2/2g  

Con respecto al tiempo:

 [t] = K va gb mc

Sustituyendo:

T1 = (L T–1)a (L T–2)b Mc

T1 = La T–a Lb T–2b Mc = La + b T–a – 2b Mc

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

ANALISIS DIM 12, 2

–(–b) – 2b = 1 → b – 2b = 1

–b = 1 → b  = –1

a = –(–1) = 1

Por tanto:

[t] = K v1 g–1 m0 = Kv/g

En este caso K = 1.

 

 


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