El Sapo Sabio

 

Lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad v. Calcula, por análisis dimensional, la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla, suponiendo que ambas magnitudes pueden depender de la masa del cuerpo, de la aceleración de la gravedad y de la velocidad de lanzamiento.

 

 

Solución:

Datos: [v] = L T^–1; [h] = L; [t] = T; [m] = M; [g] = L T^–2; h = f (v, g, m)

Experimentalmente se sabe que la altura puede depender de la velocidad, de la gravedad y de la masa, según el enunciado del problema, por tanto:

[h] = K v^a g^b m^c

Siendo K una constante (En este caso –1/2)

Sustituyendo:

L¹ = (L T^–1)^a (L T^–2)^b M^c

L¹ = L^a T^–a L^b T^–2b M^c = L^{a + b} T^{–a – 2b} M^c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

–(1 – b) – 2b = 0 → –1 + b – 2b = 0

–b – 1 = 0 → b  = –1

a = 1 – (–1) = 2

Por tanto:

[h] = (–1/2) v² g^–1 m⁰ = –v²/2g  

Con respecto al tiempo:

 [t] = K v^a g^b m^c

Sustituyendo:

T¹ = (L T^–1)^a (L T^–2)^b M^c

T¹ = L^a T^–a L^b T^–2b M^c = L^{a + b} T^{–a – 2b} M^c

Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

–(–b) – 2b = 1 → b – 2b = 1

–b = 1 → b  = –1

a = –(–1) = 1

Por tanto:

[t] = K v¹ g^–1 m⁰ = Kv/g

En este caso K = 1.