Ecuación de dimensiones 12
Lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad v. Calcula, por análisis dimensional, la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla, suponiendo que ambas magnitudes pueden depender de la masa del cuerpo, de la aceleración de la gravedad y de la velocidad de lanzamiento.
Solución:
Datos: [v] = L T–1; [h] = L; [t] = T; [m] = M; [g] = L T–2; h = f (v, g, m)
Experimentalmente se sabe que la altura puede depender de la velocidad, de la gravedad y de la masa, según el enunciado del problema, por tanto:
[h] = K va gb mc
Siendo K una constante (En este caso –1/2)
Sustituyendo:
L1 = (L T–1)a (L T–2)b Mc
L1 = La T–a Lb T–2b Mc = La + b T–a – 2b Mc
Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
–(1 – b) – 2b = 0 → –1 + b – 2b = 0
–b – 1 = 0 → b = –1
a = 1 – (–1) = 2
Por tanto:
[h] = (–1/2) v2 g–1 m0 = –v2/2g
Con respecto al tiempo:
[t] = K va gb mc
Sustituyendo:
T1 = (L T–1)a (L T–2)b Mc
T1 = La T–a Lb T–2b Mc = La + b T–a – 2b Mc
Comparando los exponentes de la anterior expresión se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
–(–b) – 2b = 1 → b – 2b = 1
–b = 1 → b = –1
a = –(–1) = 1
Por tanto:
[t] = K v1 g–1 m0 = Kv/g
En este caso K = 1.