El Sapo Sabio

 

Se pretende enviar una muestra de 2 g del material radiactivo ⁹⁰Sr a un planeta de otro sistema estelar situado a 40 años–luz de la Tierra, mediante una nave que viaja a una velocidad v = 0,9c. El período de semidesintegración del material es de 29 años.

a)  Calcula el tiempo que tarda la nave en llegar al planeta para un observador en la nave.

b)  Determina los gramos de material que llegan sin desintegrar.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 g;  L₁ = 40 años–luz; v = 0,9c; T = 29 años

a)  Aunque no lo parezca el año – luz  es una unidad de longitud igual a la distancia que recorre la luz en un año. Cuando se tenga que utilizar para realizar algún cálculo es conveniente expresarla como año·c.

 

El rectángulo representa un recinto que se mueve respecto al observador 2 (nave) con velocidad v. El observador 1, la Tierra y la estrella están dentro del recinto.

Observador 1 (Tierra):

Ve el planeta quieto. Midiendo la distancia obtiene: L₁.

Observador 2 (nave):

Ve e planeta en movimiento con velocidad v. Midiendo la distancia obtiene: L₂.

Aplicando la conversión de longitudes resulta:

L₂ = y L₁

 

L₂ = 0,436·40 año–luz = 17,4 a·c

Visto por el pasajero de la nave, el planeta está a una distancia de 17,4 años–luz  y se acerca a una velocidad 0,9c. Por tanto, tardará en llegar:

Dt₂ = L₂/v = 17,4 a·c/0,9 c = 19,3 años

b)  Aplicando la ecuación de la desintegración:

m = m₀ e^{–l t}

Constante de desintegración:

l = –ln 0,5/T = –ln 0,5/29 años

Sustituyendo en la ecuación de desintegración:

m = 2 g· e^{–(–ln 0,5/29 años)·19,3 años} = 1,26 g

Cuando la nave llega a su destino quedan 1,26 g de muestra radiactiva.