Propagación de errores 10

 

Calcula el volumen de un cono, indicando los errores absoluto, relativo y porcentual, sabiendo que: la altura es h = (5,00, ±0,01) m, el radio R = (2,50, ±0,01) m y π = (3,1416, ±0,0001)

 

 

Solución:

Datos: h = (5,00, ±0,01) m; R = (2,50, ±0,01) m; π = (3,1416, ±0,0001)

El volumen (V) de un cono es igual un tercio del área de la base (un círculo) por la altura del cono, es decir:

 

V = (1/3) π R2 h

 

Expresión del volumen del cono:

 

V = (1/3)·3,1416·(2,50 m)2·5,00 m = 32,725 m3

 

Ahora debemos hallar el error absoluto correspondiente al volumen.

Errores para el producto, cociente, potenciación y radicación:

En estos casos, es más fácil, primero hallar el error relativo (que será la suma de los errores relativos de cada una de las medidas) y, después, el error absoluto.

El error relativo se puede hallar tomando logaritmos neperianos en la expresión del volumen y después diferenciando.

 

L V = L (1/3) π R2 h = L (1/3) + L π + L R2 + L h

 

L V = L (1/3) + L π + 2 L R + L h

 

Diferenciando la anterior expresión:

 

 

 

En este caso, π se puede considerar como una variable más ya que no se puede expresar como un número exacto, sino que se pueden tomar infinitos decimales.   

 Ahora se identifican los diferenciales con los errores absolutos:

 

 

 

Por tanto:

 

Er (V) = Er (π) + 2 Er (R) + Er (h)

 

Er (V) = (0,0001/3,1416) + 2·(0,01 m/2,50 m) + (0,01 m/5,00 m) = 0,010

 

Error porcentual:

 

E% = 100·Er = 100·0,010 = 1%

 

Error absoluto (Ea):

 

Er = Ea/V Ea = Er · V

 

Ea = 0,010 · 32,725 m3 = 0,32725 cm3

 

Expresión del volumen del cono:

 

V = (32,7 ± 0,3) m3

 

El error absoluto solo puede tener una cifra distinta de cero.   

El valor de la medida ha de tener el mismo número de decimales que el error absoluto o el mismo número de ceros si se trata de un entero.

Las constantes, deben tomarse con el número de cifras necesario para que el término del error correspondiente a las mismas, sea despreciables frente al error total.

O también, en caso de que hayan números irracionales, tales como p, e, etc, se procurará tomar tantas cifras como sean necesarias a fin de conseguir que su error relativo sea unas diez veces menor que el mayor de los errores relativos, o bien igual al menor de los errores relativos de las magnitudes medidas.

 

 

 

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