El Sapo Sabio

 

En un calorímetro (equivalente en agua: 20 g) que contiene 200 g de hielo a –10 ºC, se introducen 40 g de vapor de agua a 100 ºC. Determina el estado de equilibrio.

Datos: Hielo: c = 0,5 cal/g ºC, L_f = 80 cal/g. Agua: L_v = 540 cal/g

 

 

Solución:

Datos:

Hielo: m₁ = 200 g; t₁ = –10 ºC

Vapor de agua: m₂ = 40 g; t₂ = 100 ºC

Calorímetro: m₀ = 20 g

Como hay cambio de fase del agua, no se puede utilizar el equivalente en agua del calorímetro, hay que usar la capacidad calorífica:

 

C = m₀ c = 20 g·1 (cal/g ºC) = 20 cal/ºC

 

Como no se conoce en qué estado se encuentra el equilibrio del sistema, así como a qué temperatura, primero se realizará un balance entre el calor ganado y el perdido.

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase con relación al hielo.

Calor ganado por el hielo para pasar de –10 ºC a 0 ºC, más el del absorbido por el calorímetro:

 

Q_g = 200 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–10)] ºC + 20 (cal/ºC) )·[0 – (–10)] ºC = 1200

 

Calor perdido por el vapor agua al pasar de 100 ºC a agua 0 ºC: 

 

Q_p = 40 g·(–540 cal/g) + 40 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 100) ºC = –25600 cal   

 

No hay equilibrio porque hay más calor perdido que ganado.

Para aumentar el calor ganado y disminuir el perdido, la temperatura de equilibrio deberá ser mayor de 0 ºC, luego tendrá que fundirse el hielo. La fusión de 200 gramos de hielo requiere ganar 16000 calorías (Q = m L_f = 200 g·80 cal/g = 16000 cal), que sumadas a las 1200 ya ganadas produce un total de 17200 calorías, todavía por debajo de las 25600 calorías perdidas.

El hielo aumenta su temperatura de t₁ hasta 0 ºC, se funde y el agua resultante aumenta su temperatura desde 0 ºC hasta t (temperatura de equilibrio).

El calorímetro sube su temperatura desde t₁ hasta t.

El vapor de agua se condensa y el agua formada baja su temperatura desde t₂ hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Q_g + Q_p = 0

 

Calor ganado:

Calor necesario para que el calorímetro aumente su temperatura de t₁ a t:

 

Q₁ = C (t – t₁)

 

Calor necesario para pasar de hielo a t₁ a hielo a 0 ºC:

 

Q₂ = m₁ c₁ (0 – t₁) = –m₁ c₁ t₁

 

Calor necesario para fundir el hielo a 0 ºC convirtiéndose en agua a 0 ºC:

 

Q₃ = m₁ L_f 

 

Calor necesario para pasar el agua (procedente del hielo) a 0 ºC a t:

 

Q₄ = m₁ c₂ (t – 0) = m₁ c₂ t

 

Calor total ganado:

 

Q_g = Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ = C (t – t₁) – m₁ c₁ t₁ + m₁ L_f + m₁ c₂ t

 

Calor perdido:

Calor desprendido por el vapor de agua para condensarse convirtiéndose en agua a t₂:

 

Q₅ = m₂ L_c

 

Calor desprendido por el agua (procedente del vapor) al pasar de t₂ a t:

 

Q₆ = m₂ c₂ (t – t₂)

 

Calor total perdido por el vapor de agua:

 

Q_p = Q₅ + Q₆ = m₂ L_c + m₂ c₂ (t – t₂)

 

Aplicando el principio de la calorimetría:

 

C (t – t₁) – m₁ c₁ t₁ + m₁ L_f + m₁ c₂ t + m₂ L_c + m₂ c₂ (t – t₂) = 0

 

C t – C t₁ – m₁ c₁ t₁ + m₁ L_f + m₁ c₂ t + m₂ L_c + m₂ c₂ t – m₂ c₂ t₂ = 0

 

C t + m₁ c₂ t + m₂ c₂ t = C t₁ + m₁ c₁ t₁ – m₁ L_f – m₂ L_c + m₂ c₂ t₂

 

(C + m₁ c₂ + m₂ c₂ ) t = C t₁ + m₁ (c₁ t₁ – L_f)  + m₂ (c₂ t₂ – L_c)