Equilibrio térmico 13

 

Determina el estado de equilibrio cuando, en un calorímetro, se pongan:

a)  2 kg de agua a 50 ºC con 1 kg de hielo a –5 ºC.

b)  2 kg de agua a 30 ºC con 1 kg de hielo a –5 ºC.

c)  1 kg de agua a 20 ºC  con 10 kg de hielo a –30 ºC.

d)  1 kg de agua a 20 ºC con 6 kg de hielo a –30 ºC.

Datos: Hielo: c = 0,5 cal/g ºC; Lf = 80 cal/g

 

 

Solución:

a)  Datos: m1 = 1000 g; t1 = –5 ºC; m2 = 2000 g; t2 = 50 ºC

Como no se conoce en qué estado se encuentra el equilibrio del sistema, así como a qué temperatura, primero se realizará un balance entre el calor ganado y el perdido.

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –5 ºC  a 0 ºC: 

 

Qg = 1000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–5 ºC)] = 2500 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 50 ºC  a 0 ºC: 

 

Qp = 2000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 50) ºC = –100000 cal

 

No hay equilibrio porque hay más calor perdido que ganado.

Para aumentar el calor ganado y disminuir el perdido, la temperatura de equilibrio deberá ser mayor de 0 ºC, luego tendrá que fundirse el hielo. La fusión de 1000 gramos de hielo requiere ganar 80000 calorías, que sumadas a las 2500 ya ganadas produce un total de 82500 calorías, todavía por debajo de las 100000 calorías perdidas.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC, se funde y el agua resultante aumenta su temperatura desde 0 ºC hasta t (temperatura de equilibrio).

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado:

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Q1 = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1

 

Calor necesario para fundir el hielo a 0 ºC convirtiéndose en agua a 0 ºC:

 

Q2 = m1 Lf 

 

Calor necesario para pasar el agua (procedente del hielo) a 0 ºC a t:

 

Q3 = m1 c2 (t – 0) = m1 c2 t

 

Calor total ganado:

 

Qg = Q1 + Q2 + Q3 = –m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t

 

Calor total perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a t:

 

Qp = m2 c2 (t – t2)

 

Aplicando el principio de la calorimetría:

 

–m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t + m2 c2 (t – t2) = 0

 

–m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t + m2 c2 t – m2 c2 t2 = 0

 

m1 c2 t + m2 c2 t = m1 c1 t1 – m1 Lf + m2 c2 t2

 

c2 t (m1 + m2) = m1 (c1 t1 – Lf)+ m2 c2 t2

 

t = [m1 (c1 t1 – Lf)+ m2 c2 t2]/c2 (m1 + m2)

 

Sustituyendo valores:

 

 

 

En el equilibrio habrá 3 kg de agua a 5,83 ºC.

b)  Datos: m1 = 1000 g; t1 = –5 ºC; m2 = 2000 g; t2 = 30 ºC

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –5 ºC a 0 ºC:

 

Qg = 1000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–5 ºC)] = 2500 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 30 ºC  a 0 ºC: 

 

Qp = 2000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 30) ºC = –60000 cal

 

 No hay equilibrio porque hay más calor perdido que ganado.

Para aumentar el calor ganado y disminuir el perdido, la temperatura de equilibrio deberá ser mayor de 0 ºC, luego tendrá que fundirse el hielo. La fusión de 1000 gramos de hielo requiere ganar 80000 calorías (Q = m Lf = 1000 g·80 (cal/g) = 80000 cal), que sumadas a las 2500 ya ganadas hacen un total de 82500 calorías, cantidad que supera a las 60000 perdidas. Por tanto, únicamente se fundirá una parte del hielo.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC, y parte del mismo (x) se funde.

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado:

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Q1 = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1

 

Calor necesario para fundir parte de hielo a 0 ºC convirtiéndose en agua a 0 ºC:

 

Q2 = x Lf

 

Calor total ganado:

 

Qg = Q1 + Q2 = –m1 c1 t1 + x Lf

 

Calor total perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a 0 ºC:

 

Qp = m2 c2 (0 – t2) = –m2 c2 t2

 

Aplicando el principio de la Calorimetría:

 

–m1 c1 t1 + x Lf – m2 c2 t2 = 0

 

x Lf = m1 c1 t1 + m2 c2 t2

 

x = (m1 c1 t1 + m2 c2 t2)/Lf

 

 

 

En el equilibrio quedan 2719 gramos de agua y 281 gramos de hielo, a 0 ºC.

c)  Datos: m1 = 10000 g; t1 = –30 ºC; m2 = 1000 g; t2 = 20 ºC

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –30 ºC a 0 ºC: 

 

Qg = 10000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–30 ºC)] = 150000 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 50 ºC a 0 ºC:

 

Qp = 1000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 20) ºC) = –20000 cal

 

No hay equilibrio porque hay más calor ganado que perdido.

Para aumentar el calor perdido y disminuir el ganado, la temperatura de equilibrio deberá ser menor de 0 ºC, luego tendrá que congelarse el agua. Al congelarse los 1000 gramos de agua se desprenden 80000 calorías, que sumadas a las 20000 ya perdidas produce un total de 100000 calorías, todavía por debajo de las 150000 calorías ganadas.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta t.

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta 0 ºC, se congela y el hielo formado baja su temperatura desde 0 ºC hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor total ganado:

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a t:

 

Qg = m1 c1 (t – t1) 

 

Calor perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a 0 ºC:

 

Q1 = m2 c2 (0 – t2) = –m2 c2 t2

 

Calor necesario para convertir el agua 0 ºC a hielo a 0 ªC:

 

Q2 = m2 Lf 

 

Calor necesario para pasar el hielo (procedente del agua) a 0 ºC a t:

 

Q3 = m2 c1 (t – 0) = m2 c1 t

 

Calor total perdido:

 

Qp = Q1 + Q2 + Q3 = –m2 c2 t2 + m2 Lf + m2 c1 t

 

Aplicando el principio de la Calorimetría:

 

m1 c1 (t – t1) – m2 c2 t2 + m2 Lf + m2 c1 t = 0

 

m1 c1 t – m1 c1 t1 – m2 c2 t2 + m2 Lf + m2 c1 t = 0

 

m1 c1 t + m2 c1 t = m1 c1 t1 + m2 c2 t2 – m2 Lf

 

(m1 + m2) c1 t = m1 c1 t1 + m2 (c2 t2 – Lf)

 

t = [m1 c1 t1 + m2 (c2 t2 – Lf)]/ (m1 + m2) c1

 

 

 

En el equilibrio habrá 11 kg de hielo a –9,09 ºC.

d)  Datos: m1 = 6000 g; t1 = –30 ºC; m2 = 1000 g; t2 = 20 ºC

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –30 ºC a 0 ºC: 

 

Qg = 6000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–30 ºC)] = 90000 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 20 ºC a 0 ºC:

 

  Qp = 1000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 20) ºC = –20000 cal

 

No hay equilibrio porque hay más calor ganado que perdido.

Para aumentar el calor perdido y disminuir el ganado, la temperatura de equilibrio deberá ser menor de 0 ºC, luego tendrá que congelarse el agua. Al congelarse 1000 gramos de agua se desprenden 80000 calorías ( Q = m Ls = 1000 g·80 (cal/g) = 80000 cal), que sumadas a las 20000 ya perdidas produce un total de 100000 calorías, cantidad que supera a las 90000 ganadas. Por tanto, únicamente se congelará una parte del agua.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC.

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta 0 ºC, y parte de ella (x) se congela.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor total ganado:

 Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Qg = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1  

 

Calor perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a 0 ºC:

 

Q1 = m2 c2 (0 – t2) = –m2 c2 t2  

 

Calor necesario para convertir agua a 0 ºC a hielo a 0 ºC:

 

Q2 = x Ls

 

Calor total perdido:

 

Qp = –m2 c2 t2 + x Ls

 

Aplicando el principio de la calorimetría:

 

–m1 c1 t1 – m2 c2 t2 + x Ls = 0

 

x Ls = m1 c1 t1 + m2 c2 t2

 

x = (m1 c1 t1 + m2 c2 t2)/Ls

 

 

 

En el equilibrio quedan 125 gramos de agua y 6875 gramos de hielo, a 0 ºC.

 

 

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