El Sapo Sabio

 

 Un protón, inicialmente en reposo, es acelerado por una d. d. p de 500000 V y a continuación entra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 0,05 T.

 a)  Hallar la velocidad del protón al entrar en el campo magnético.

 b)  Calcular el radio de la curva que describe.

 Datos del protón: m = 1,67·10^–27 kg; q = 1,6·10^–19 C

 

Solución:

Datos: d. d. p = 5·10⁵ V; B = 0,05 T; m = 1,67·10^–27 kg; q = 1,6·10^–19 C     

a)

 

 Si el protón (carga positiva) gana velocidad al trasladarse de A hacia B, el campo eléctrico apunta de A hacia B y por tanto: (V_A – V_B) = 5·10⁵ V (el campo apunta en sentido del potencial decreciente)  

 Aplicando el principio de conservación de la energía:

 

W = Ec + Ep

 

Energía cinética:

 

Ec = (1/2) m v² – 0 = (1/2) m v²

 

Energía potencial eléctrica:

 

Ep = q V_B – q V_A = q (V_B – V_A)

 

En la expresión de la energía potencial la carga se pone con su signo.

 Durante el trayecto el protón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica cuyo trabajo ya está incluido en la variación de energía, por tanto:

 

W = 0

 

Las partículas subatómicas (electrón, positrón, protón, partículas alfa, etc) la proporción entre carga y masa (q/m) es muy alta, por tanto se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica.

 

0 = (1/2) m v² + q (V_B – V_A)

 

(1/2) m v² = –q (V_B – V_A)

 

 v² = 2 q (V_A – V_B)/m 

 

 

 b)  El protón, al penetrar perpendicularmente en el campo magnético, sufre la acción de una fuerza normal a la velocidad y al campo y su trayectoria depende del ángulo velocidad–campo. En este caso el ángulo es de 90º, luego la fuerza curva la trayectoria en un plano perpendicular al campo. Como la velocidad sigue siendo normal al campo, la fuerza volverá a curvar la trayectoria en un plano perpendicular al mismo y así sucesivamente.

 

 La trayectoria será una circunferencia, o un arco, en un plano normal al campo magnético. O sea:

 

 por tanto: 

 

Según Dinámica:

    F = m a_n = m (v²/R)  

 Ahora podemos despejar R: 

   R = m v²/F  

 

  Para poder solucionar el problema necesitamos averiguar el módulo de la fuerza magnética F. 

En la siguiente figura el protón se mueve en el plano de la pantalla y el campo magnético es perpendicular a ella y está dirigido hacia afuera. 

 

  

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento: 

 

 Producto vectorial de los vectores u_v y u_B: 

 

 En la expresión de la fuerza la carga se pone con signo.

 

Módulo de la fuerza magnética: 

 F = q v B

 En la expresión del módulo de la fuerza la carga se pone sin signo. 

  Sustituyendo en la ecuación del radio: 

  R = m v²/q v B = m v/q B 

 

 

 

 Dimensionalmente: