El Sapo Sabio

 

Cuando un átomo de uranio se desintegra emite una partícula α, Z = 2, y deja un núcleo residual de torio, Z = 90. Suponiendo la partícula α inicialmente en reposo a 8,5·10^–15 m del centro nuclear, calcula:

a)  Aceleración inicial.

b)  Velocidad cuando esté a una gran distancia del núcleo.

Datos: Partícula α: m = 6,65·10^–27 kg. Protón: q = 1,6·10^–19 C   

Nota: Z es el número atómico, es decir, la cantidad de protones que tiene el núcleo, cuya carga eléctrica es Z·q, siendo q la carga del protón.

 

Solución:

Datos: Z(α) = 2; Z(Th) = 90; r = 8,5·10^–15 m; m(α) = 6,65·10^–27 kg; q = 1,6·10^–19 C   

a)

 

 

Según Dinámica:

F = m a → a = F/m

Según la ley de Coulomb:

 

 

En expresión del módulo de la fuerza, las cargas se ponen sin signo.

Sustituyendo en la anterior expresión procedente de Dinámica:

 

 

A la vista del resultado obtenido, se puede pensar que con una aceleración tan grande, la partícula superará la velocidad de la luz (3·10⁸ m/s) en menos de 1 s, cosa que no sucede porque la aceleración de la partícula no es constante, pues va disminuyendo a medida que ésta se aleja del núcleo. 

b)  Dato: r_B = ∞ 

 

 

Según el principio de conservación de la energía:

W = ΔEc + ΔEp

Durante el desplazamiento, el electrón únicamente está sometido a la fuerza eléctrica, ya que se puede despreciar el peso en comparación con la fuerza eléctrica, cuyo trabajo se encuentra incluido en la variación de la energía potencial, por tanto W = 0.

0 = ΔEc + ΔEp

 

ΔEc = (1/2) m v² – 0

 

ΔEp = q V_B – q V_A

En la expresión de la energía potencial la carga q se pone con signo.

(1/2) m v² + q (V_B – V_A) = 0 → (1/2) m v² = –q (V_B – V_A)

 

m v² = 2 q (V_A – V_B) → v² = 2 q (V_A – V_B)/m

 

 

En la expresión del potencial la carga Q se pone con signo.

 

 

El punto B se encuentra en el infinito, luego V_B = 0.

 

 

De acuerdo con el resultado obtenido podemos ver que la velocidad máxima alcanzada por la partícula es, aproximadamente, un 13% de la velocidad de la luz, luego se confirma lo dicho en el comentario del apartado anterior.