Dinámica del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 09

 

Una máquina de un tren de masa 1000 kg arrastra dos vagones de masas 500 kg cada uno. El coeficiente de rozamiento de la máquina vale 0,2 y el coeficiente de rozamiento de cada uno de los vagones vale 0,1, la fuerza ejercida por la máquina es de 20000N.

Calcular:

a)  La aceleración con que se mueve el sistema.

b)  Las tensiones.

 

Solución:

 

Datos: m1 = 1000 kg; m2 = m3 = 500 kg; μ1 = 0,2; μ2 = μ3 = 0,1; F = 20000 N

 

Fuerzas que intervienen:

 

 

a)  Fuerzas tangenciales:

 

F – T1 – Fr1 + T1 – T2 – Fr2 + T2 – Fr3 = (m1 + m2 + m3) a

 

F – Fr1 – Fr2 – Fr3 = (m1 + m2 + m3) a

 

Fuerza de rozamiento:

 

Fr = μ N

 

Realizando las debidas sustituciones:

 

F – μ1 N1μ2 N2μ3 N3 = (m1 + m2 + m3) a

 

F – μ1 P1 – μ2 P2 – μ3 P3 = (m1 + m2 + m3) a

 

F – μ1 m1 g – μ2 m2 g – μ3 m3 g = (m1 + m2 + m3) a

 

a = (F – μ1 m1 g – μ2 m2 g – μ3 m3 g)/(m1 + m2 + m3)

 

 

b)  Para hallar T1 utilizaremos las fuerzas que actúan sobre la máquina:

 

F – T1 – Fr1 = m1 a

 

T1 = F – m1 a – Fr1

 

T1 = F – m1 a – μ1 m1 g

 

T1 = 20000 N – 1000 kg·8,53 (m/s2) – 0,2·1000 kg·9,8 (m/s2)

 

T1 = 20000 N – 8530 N – 1960 N = 9510 N

 

Ahora, utilizaremos las fuerzas que actúan sobre el último vagón:

 

T2 – Fr3 = m3 a

 

T2 = Fr3 + m3 a

 

T2 = μ3 m3 g + m3 a

 

T2 = 0,1·500 kg·9,8 (m/s2) + 500 kg·8,53 (m/s2)

 

T2 = 490 N + 4265 N = 4755 N

 

Podemos ver si los valores de las tensiones son correctos, comprobando si verifican una tercera ecuación que se puede obtener, usando las fuerzas que actúan sobre el primer vagón.

 

T1 – T2 – Fr2 = m2 a

 

T1 – T2 – μ2 m2 g = m2 a

 

T1 – T2 – μ2 m2 g = 9510 N – 4755 N – 490 N = 4265 N

 

m2 a = 500 kg·8,53 (m/s2) = 4265 N

 

Los resultados de ambos miembros de la ecuación son iguales, por tanto, la ecuación se verifica y las soluciones de las tensiones obtenidas son correctas.

 

 

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