El Sapo Sabio

 

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación: y = 20 sen (50x) cos (400t) (x, y: en cm, t: en s)

Determina:

a)  Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas que produjeron esta vibración.

b)  Posición de nodos y vientres y la amplitud en éstos.

 

Solución:

Dato: y = 20 sen (50x) cos (400t) (x, y: en cm, t: en s)

La ecuación dada corresponde a una onda estacionaria, formada por la interferencia de dos ondas progresivas viajando en sentidos contrarios.

Las ondas estacionarias se producen como resultado de la interferencia de dos ondas que se propagan en sentidos contrarios en un medio de dimensión limitada, por ejemplo, una cuerda con sus extremos fijos.

La característica más destacada de una onda estacionaria es que la amplitud de oscilación de las partículas del medio, depende de la posición de éstas. Esta amplitud varía entre 0 (Nodos) y un valor máximo (Vientre).

El nombre de onda estacionaria alude al hecho de que las crestas de onda, no avanzan en la dirección de propagación como ocurre en las ondas progresivas, en las que una partícula no se desplaza horizontalmente, únicamente sube y baja, es decir, la onda no arrastra materia.

a)  Ecuación general de una onda estacionaria:

 

 

 

Comparando la anterior expresión con la dada en el enunciado del problema, se pueden obtener los parámetros de las ondas que interfieren.

Amplitud de onda estacionaria: y₀ = 20 cm (Amplitud de cada onda progresiva: y₀/2 = 10 cm)

Frecuencia angular:

 

Período:

 

Constante de propagación:

k = 50 rad/cm

Longitud de onda:

 

 

Velocidad de propagación:

 

b)  Si en una onda elástica se fija un valor para x, la ecuación de onda se convierte en la ecuación de posición del movimiento armónico del punto situado en dicha abscisa.

 

 

Se puede ver que la amplitud de oscilación (y₀ sen kx₁) depende de la posición del punto (debemos recordar que en una onda estacionaria, todos los puntos del medio oscilan con la misma amplitud)

Los nodos son los puntos donde la amplitud de oscilación es cero (interferencia destructiva), por tanto:

 

 

La separación entre dos nodos consecutivos es igual a la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren

Los vientres son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima (y₀), luego:

 

 

La separación entre dos vientres consecutivos es la mitad de la longitud de onda de las ondas progresivas que interfieren.

Se puede ver que cada vientre está equidistante entre dos nodos y viceversa.

 

 

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