Móviles al encuentro y en persecución 03

  

Un coche coge la autopista de A hacia B con una rapidez constante de 108 km/h a las 9 de la mañana. Un cuarto de hora después, otro coche que viaja a 72 km/h entra a la autopista por B dirigiéndose hacia A. Sabiendo que la longitud del tramo de autopista considerado es de 70 km, hallar a qué hora y dónde se cruzarán.

 

Solución:  

 

Datos:

 

Rapidez del coche que parte de A: v1 = 108 km/h

 

Rapidez del coche que sale de B: v2 = 72 km/h

 

Distancia que separa a ambas entradas de la autopista (considerando A el origen): x2,0 = 70 km

 

Este problema se puede resolver haciendo que el tiempo que tardan ambos vehículo en encontrarse sea el mismo o diferente.

 

Primero lo resolveremos para tiempos iguales, para  lo cual empezaremos a contar el tiempo en el instante en el que el segundo coche entre en la autopista por B, pero teniendo en cuenta el espacio que ha recorrido el primero durante un cuarto de hora (durante ese tiempo el segundo coche no está todavía en la autopista)

 

 

 

 

x1,0 = v1· t1 = 108 (km/h) · 0,25 h =  27 km

 

Ecuaciones del movimiento:

 

                        Primer coche: x1 = x1,0 + v1 t                         Segundo coche: x2 = x2,0 – v2 t         

 

Siendo t el tiempo que tardan ambos coches en encontrarse a partir del momento en el que el segundo entra en la autopista por B.

 

Cuando ambos coches se encuentren estarán a la misma distancia de A, por tanto:

 

x1 = x2 → x1,0 + v1 t = x2,0 – v2 t

 

v1 t + v2 t = x2,0 – x1,0

 

(v1 + v2) t = x2,0 – x1,0

 

 

 

 

Sustituyendo las incógnitas cuyos valores ya conocemos, obtenemos el tiempo que los coches tardan en cruzarse.

 

 

 

Como ya hemos dicho, el tiempo hallado es a partir del momento en el que el segundo coche entra por B en la autopista y para entonces ya han pasado un cuarto de hora, es decir, quince minutos desde que entró por A el primer vehículo, cosa que sucedió a las 9 de la mañana, por tanto la hora de encuentro será a las 9 horas 29 minutos (15 + 14) y 20 segundos de la mañana.

 

 

Punto de encuentro:

 

 

 

 

Los vehículos se encontrarán a 52,8 km de A.

 

Ahora lo resolveremos para tiempos diferentes.

 

 

 

 Ecuaciones del movimiento:

                       

Primer coche: x1 =  v1 t                      Segundo coche: x2 = x2,0 – v2 (t – Δt) 

          

Siendo Δt igual un cuarto de hora y t el tiempo que tardan ambos coches en encontrarse a partir del momento en el que el primero entra en la autopista por A.

 

En el punto de encuentro se cumple que x1 = x2, por tanto:

v1 t = x2,0 – v2 (t – Δt)    v1 t = x2,0 – v2 t + v2 Δt 

 

 

v1 t + v2 t = x2,0 + v2 Δt    (v1 + v2 ) t = x2,0 + v2 Δ t 

 

 

Sustituyendo las incógnitas por sus respectivos valores, obtenemos el valor del tiempo.

 

 

Los coches se cruzan a las 9 horas 29 minutos y 20 segundos, después de entrar el primero a la autopista por A.

 

Punto de encuentro:

 

 

 

Los vehículos se encontrarán a 52,8 km de A.

 

 

 

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