Campo gravitatorio de planetas y satélites 02

 

Dos planetas tienen la misma intensidad de campo en su superficie siendo uno de ellos 25 veces más masivo que el otro. Determina la relación entre sus radios y entre sus densidades.

 

Solución:

Datos: g1 = g2; M1 = 25 M2

Como queremos obtener la relación de los radios de ambos planetas, utilizaremos las fórmulas en la que aparezcan éstos.

Intensidad de campo en la superficie del planeta que tiene mayor masa (1):

g1 = G M1 / R12

Intensidad de campo en la superficie del planeta tiene menor masa (2)

g2 = G M2 / R22

Como: g1 = g2, se cumple que:

G M1 / R12 = G M2 / R22

Simplificando G y sustituyendo M1:

25 M2 / R12 = M2 / R22

25 = R12 / R22

(R1 / R2) = 25

Podemos ver, que el planeta más masivo tiene un radio cinco veces mayor que el de menor masa.

Ahora trabajaremos con las fórmulas en las que aparezcan las densidades de los dos planetas.

Densidad del planeta con mayor masa (1):

d1 = M1 / V1 = M1 / (4/3) π R13 = 3 M1 / 4 π R13

Densidad del planeta con menor masa (2):

d2 = M2 / V2 = M2 / (4/3) π R23 = 3 M2 / 4 π R23

Dividiendo, miembro a miembro, ambas ecuaciones y sustituyendo M1, obtenemos:

d1 / d2 = (3 · 25 M2 / 4 π R13) / (3 M2 / 4 π R23)

d1 / d2 = 3 · 25 M2 · 4 π R23 / 4 π R13 · 3 M2

d1 / d2 = 25 R23 / R13

d1 / d2 = 25 (R2 / R1)3

 d1 / d2 = 25 (1/5)3

d1 / d2 = 1/5

d2 / d1 = 5

Es curioso observar que el planeta con menor masa, es más denso que el más masivo. Estaríamos, por ejemplo, ante la Tierra y Júpiter; la Tierra es menos masiva pero más densa, ya que es un planeta sólido, mientras que Júpiter es muy masivo pero poco denso, pues es un planeta gaseoso. 

 

 

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