Móviles al encuentro y en persecución 02
Dos bolas, que inicialmente se hallaban separadas por una distancia de 20 metros, se mueven en la misma dirección y sentido contrario. Una de ellas lo hace con una velocidad de 10 cm/s y la otra, que inicialmente llevaba una rapidez de 4 cm/s, acelera de manera constante a razón de 2 cm/s2.
Calcula:
a) Tiempo que tardan en encontrarse.
b) Distancia que recorre cada bola hasta encontrarse.
Solución:
Primero realizaremos la representación de los movimientos de las bolas:
Datos de la bola 1:
Velocidad: v0,1 = 10 cm/s. Espacio inicial: x0,1 = 0
Datos de la bola 2:
Velocidad inicial: v0,2 = 4 cm/s. Aceleración: a = 2 cm/s2. Espacio inicial: x0,2 = 2000 cm
Ecuación del movimiento de la bola 1:
x1 = v0,1 t
Ecuación del movimiento de la bola 2:
x2 = x0,2 – v0,2 t – (1/2) a t2
En punto de encuentro ambas bolas están a la misma distancia del origen, por tanto se cumple que:
x1 = x2
Sustituyendo, obtenemos:
v0,1 t = x0,2 – v0,2 t – (1/2) a t2
Pasando todos los términos al primer miembro:
(1/2) a t2 + v0,1 t + v0,2 t – x0,2 = 0 → (1/2) a t2 + (v0,1 + v0,2) t – x0,2 = 0
Ahora, se puede resolver numéricamente:
(1/2) 2 (cm/s2) t2 + (10 + 4) (cm/s) t – 2000 cm = 0 → t2 + 14 t – 2000 = 0
Las bolas tardan, aproximadamente, 38,3 segundos en encontrarse.
La solución negativa nos es válida.
Distancia que recorre la bola 1:
x1 = 10 (cm/s) 38,3 s = 383 cm = 3,83 m
Distancia que recorre la bola 2:
x2 = 2000 cm – 383 cm = 1617 cm = 16,17 m
Aunque es un poco más complicado, el problema se puede resolver algebraicamente, a partir de la siguiente ecuación:
(1/2) a t2 + (v0,1 + v0,2) t – x0,2 = 0
La solución:
no sirve, pues daría un tiempo negativo.
Ahora se puede continuar como se ha hecho anteriormente.