El Sapo Sabio

 

Dos bolas, que inicialmente se hallaban separadas por una distancia de 20 metros, se mueven en la misma dirección y sentido contrario. Una de ellas lo hace con una velocidad de 10 cm/s y la otra, que inicialmente llevaba una rapidez de 4 cm/s, acelera de manera constante a razón de 2 cm/s².

 

Calcula:

 

a)       Tiempo que tardan en encontrarse.

 

b)      Distancia que recorre cada bola hasta encontrarse.

 

Solución:

 

Primero realizaremos la representación de los movimientos de las bolas:

 

 

 

Datos de la bola 1:

 

Velocidad: v_0,1 = 10 cm/s. Espacio inicial: x_0,1 = 0

 

Datos de la bola 2:

 

Velocidad inicial: v_0,2 = 4 cm/s. Aceleración: a = 2 cm/s². Espacio inicial: x_0,2 = 2000 cm

 

Ecuación del movimiento de la bola 1:

 

x₁ = v_0,1 t

 

Ecuación del movimiento de la bola 2:

 

x₂ = x_0,2 – v_0,2 t – (1/2) a t²

 

En punto de encuentro ambas bolas están a la misma distancia del origen, por tanto se cumple que:

 

x₁ = x₂

 

Sustituyendo, obtenemos:

 

v_0,1 t = x_0,2 – v_0,2 t – (1/2) a t²

 

Pasando todos los términos al primer miembro:

 

(1/2) a t² + v_0,1 t + v_0,2 t – x_0,2 = 0 → (1/2) a t² + (v_0,1 + v_0,2) t – x_0,2 = 0

 

Ahora, se puede resolver numéricamente:

 

(1/2) 2 (cm/s²) t² + (10 + 4) (cm/s) t – 2000 cm = 0 → t² + 14 t – 2000 = 0

 

 

Las bolas tardan, aproximadamente, 38,3 segundos en encontrarse.

 

La solución negativa nos es válida.

 

Distancia que recorre la bola 1:

 

x₁ = 10 (cm/s) 38,3 s = 383 cm = 3,83 m

 

Distancia que recorre la bola 2:

 

x₂ = 2000 cm – 383 cm = 1617 cm = 16,17 m

 

Aunque es un poco más complicado, el problema se puede resolver algebraicamente, a partir de la siguiente ecuación:

 

(1/2) a t² + (v_0,1 + v_0,2) t – x_0,2 = 0

 

La solución:

 

no sirve, pues daría un tiempo negativo.

 

 

Ahora se puede continuar como se ha hecho anteriormente.