El Sapo Sabio

 

 Conociendo el radio de la Tierra (6370 km)   y la gravedad en su superficie, calcula la intensidad del campo gravitatorio a 1000 km:

 

a)      Sobre la superficie.

 

b)      Bajo la superficie.

 

Solución:

 

Datos: R = 6370 km; h = 1000 km

 

a)      El campo a una altura r sobre la superficie, es igual a la que crearía toda la masa del planeta concentrada en su centro.

 

g = G M / r²

 

Gravedad (campo) en el exterior del planeta:

 

g₁ = G M / r²

 

Gravedad (campo) en la superficie del planeta:

 

g = G M / R²

 

Dividiendo, miembro a miembro, ambas ecuaciones, obtenemos:

 

 

 

b)      El campo a una profundidad p bajo la superficie, es igual al que habría en la superficie de un subplaneta de radio: r = R – p. Es decir, sería el campo que crearía la masa M₁ de este subplaneta concentrada puntualmente en el centro.

 

Masa del subplaneta:

 

Dado un planeta homogéneo de masa M  y radio R, queremos averiguar la masa M₁ de un “subplaneta” concéntrico con él y de radio menor r.

 

 

 Densidad del planeta:

 

d = M /V = M / (4/3) π R³

 

Densidad del subplaneta:

 

d₁ = M₁ /V₁ = M₁ / (4/3) π r³

 

Como, según hemos dicho, el planeta es homogéneo, tendrá la misma densidad en todos sus puntos, o sea:

 

d = d₁

 

Por tanto:

 

M / (4/3) π R³ = M₁ / (4/3) π r³

 

M₁ = M (r₁ / R)³

 

Gravedad (campo) del subplaneta

 

g₁ = G M₁ / r²

 

Sustituyendo M₁ por el valor anteriormente encontrado, obtenemos la gravedad del subplaneta en función de la masa del planeta:

 

 

Gravedad (campo) en la superficie del planeta:

 

g = G M / R²

 

Dividiendo, miembro a miembro, ambas ecuaciones, obtenemos: