El Sapo Sabio

 

Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su período de revolución?

 

Toma el período actual igual a 28 días.

 

Solución:

 

Datos: R₂ = (1/4) R₁; T₁ = 28 días

 

Como los datos que tenemos son el radio orbital (R₁) y el período de la Luna (T₁) y queremos obtener el nuevo período (T₂), debemos utilizar la fórmula que los relacione.

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R² → G M / R³ = 4π² / T² → G M T² = 4π² R³ 

 

T² = 4π² R³ / G M

 

Aplicando la anterior expresión a la Luna real:

 

T₁² = 4π² R₁³ / G M

 

Si ahora aplicamos a la Luna hipotética:

 

T₂² = 4π² R₂³ / G M

 

Dividiendo ambas expresiones:

 

T₁² / T₂² = (4π² R₁³ / G M) / (4π² R₂³ / G M)

 

Simplificando:

 

T₁² / T₂² = R₁³ / R₂³

 

 

Si el radio la Luna fuera la cuarta parte de su valor actual, su período de revolución sería 3,5 días.