Período de los satélites 02
Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su período de revolución?
Toma el período actual igual a 28 días.
Solución:
Datos: R2 = (1/4) R1; T1 = 28 días
Como los datos que tenemos son el radio orbital (R1) y el período de la Luna (T1) y queremos obtener el nuevo período (T2), debemos utilizar la fórmula que los relacione.
Relación entre el período y el radio orbital:
Según la figura:
F = m an
Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:
G (M m / R2) = m (v2 / R)
Simplificando las masas y los radios, tenemos:
G (M / R) = v2
Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:
v = ω R
Sustituyendo:
G (M / R) = (ω R)2
Ahora bien, la velocidad angular es igual a:
ω = 2π / T
Volviendo a sustituir:
G (M / R) = (2π / T)2 R2 → G M / R3 = 4π2 / T2 → G M T2 = 4π2 R3
T2 = 4π2 R3 / G M
Aplicando la anterior expresión a la Luna real:
T12 = 4π2 R13 / G M
Si ahora aplicamos a la Luna hipotética:
T22 = 4π2 R23 / G M
Dividiendo ambas expresiones:
T12 / T22 = (4π2 R13 / G M) / (4π2 R23 / G M)
Simplificando:
T12 / T22 = R13 / R23
Si el radio la Luna fuera la cuarta parte de su valor actual, su período de revolución sería 3,5 días.