Período de los planetas 01
Un planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita circular con una velocidad de 50 km/s, respecto de un sistema de referencia heliocéntrico. Halla el período de este planeta alrededor del Sol.
Dato: Masa del Sol = 1,97·1030 kg
Solución:
Datos: v = 50 km/s; M = 1,97·1030 kg
Un sistema de referencia heliocéntrico, que es el que habitualmente utilizamos, es el que considera al observador situado en el Sol.
Relación entre la velocidad y el radio orbital:
Según la figura:
F = m an
Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:
G (M m / R2) = m (v2 / R)
Simplificando las masas y los radios, tenemos:
G (M / R) = v2
Despejando R:
G M / v2 = R
Como el planeta gira con velocidad constante:
v = ω R → ω = v / R
Ahora bien, la velocidad angular es igual a:
ω = 2π / T
Sustituyendo en la anterior ecuación:
2π / T = v / R
Despejando R:
R = v T / 2π
Igualando las ecuaciones en donde se ha despejado R:
G M / v2 = v T / 2π → 2π G M = v3 T
Despejando el período:
T = 2π G M / v3
Sustituyendo por los valores correspondientes:
T = 2π · 6,67·10–11 (N m2/ kg2) · 1,97·1030 kg / (50000 m/s)3
T = 2π · 6,67·10–11 (kg m3/ s2 kg2) · 1,97·1030 kg / 500003 m3/s3
T = 6,6·106 s
T = 6,6·106 s · (h / 3600 s) · (día / 24 h) = 76,4 días