El Sapo Sabio

 

Un  planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita circular con una velocidad de 50 km/s, respecto de un sistema de referencia heliocéntrico. Halla el período de este planeta alrededor del Sol.

 

Dato: Masa del Sol = 1,97·10³⁰ kg

 

Solución:

 

Datos: v = 50 km/s; M = 1,97·10³⁰ kg 

 

Un sistema de referencia heliocéntrico, que es el que habitualmente utilizamos, es el que considera al observador situado en el Sol.

 

Relación entre la velocidad y el radio orbital:

 

 

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Despejando R:

 

G M / v² = R

 

Como el planeta gira con velocidad constante:

 

v = ω R → ω = v / R

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Sustituyendo en la anterior ecuación:

 

2π / T = v / R

 

Despejando R:

 

R = v T / 2π

 

Igualando las ecuaciones en donde se ha despejado R:

 

G M / v² = v T / 2π  → 2π G M = v³ T

 

Despejando el período:

 

T = 2π G M / v³

 

Sustituyendo por los valores correspondientes:

 

T = 2π · 6,67·10^–11 (N m²/ kg²) · 1,97·10³⁰ kg / (50000 m/s)³

 

T = 2π · 6,67·10^–11 (kg m³/ s² kg²) · 1,97·10³⁰ kg / 50000³ m³/s³

 

T = 6,6·10⁶ s

 

T = 6,6·10⁶ s · (h / 3600 s) · (día / 24 h) = 76,4 días