El Sapo Sabio

 

 Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la relación R³/T² es constante y vale 3,35·10¹⁸ m³/s², siendo R el radio de sus órbitas y T el período de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del Sol.

 

Solución:

 

Datos: K = 3,35·10¹⁸ m³/s²; G = 6,67·10^–11 N m²/kg²     

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

 

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R² → G (M / R) = 4π² R² / T²

 

G M / 4π² = R³ / T²

 

La constante de Kepler proporciona la relación entre el cubo del radio y el cuadrado del período, para cualquier órbita alrededor del Sol, es decir:

 

R³ / T² = K

 

Igualando las dos ecuaciones, se obtiene que:

 

G M / 4π² = K

 

Despejando la masa de la expresión anterior:

 

M = 4π² K / G