Masa, peso y densidad de los cuerpos celestes 03
Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la relación R3/T2 es constante y vale 3,35·1018 m3/s2, siendo R el radio de sus órbitas y T el período de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del Sol.
Solución:
Datos: K = 3,35·1018 m3/s2; G = 6,67·10–11 N m2/kg2
Relación entre el período y el radio orbital:
Según la figura:
F = m an
Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:
G (M m / R2) = m (v2 / R)
Simplificando las masas y los radios, tenemos:
G (M / R) = v2
Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:
v = ω R
Sustituyendo:
G (M / R) = (ω R)2
Ahora bien, la velocidad angular es igual a:
ω = 2π / T
Volviendo a sustituir:
G (M / R) = (2π / T)2 R2 → G (M / R) = 4π2 R2 / T2
G M / 4π2 = R3 / T2
La constante de Kepler proporciona la relación entre el cubo del radio y el cuadrado del período, para cualquier órbita alrededor del Sol, es decir:
R3 / T2 = K
Igualando las dos ecuaciones, se obtiene que:
G M / 4π2 = K
Despejando la masa de la expresión anterior:
M = 4π2 K / G