El Sapo Sabio

 

El satélite Europa tiene un período de rotación alrededor de Júpiter de 85 horas y su órbita, prácticamente circular, tiene un radio de 6,67·10⁵ km. Calcula la masa de Júpiter.

 

Dato: G = 6,67·10^–11 N m² / kg² 

 

Solución:

 

Datos: T = 85 h; R = 6,67·10⁵ km; G = 6,67·10^–11 N m² / kg²

 

Relación entre el período y el radio orbital:

 

Según la figura:

 

F = m a_n

 

Como F es la fuerza de atracción gravitatoria:

 

G (M m / R²) = m (v² / R)

 

Simplificando las masas y los radios, tenemos:

 

G (M / R) = v²

 

Pero la velocidad tangencial es igual a la angular por el radio de giro, es decir:

 

v = ω R

 

Sustituyendo:

 

G (M / R) = (ω R)²

 

Ahora bien, la velocidad angular es igual a:

 

ω = 2π / T

 

Volviendo a sustituir:

 

G (M / R) = (2π / T)² R²

 

Despejando la masa:

 

 

Sustituyendo en la ecuación anterior las incógnitas por sus valores, obtenemos:

 

Otro punto de vista para realizar este problema, es utilizar la fuerza centrífuga:

 

 

Según la figura, para que el satélite permanezca en su órbita, se debe cumplir que las dos fuerzas que actúan sobre él, estén en equilibrio, es decir, que la fuerza de gravedad (F_G) sea igual a la fuerza centrífuga (F_C), luego:

F_G = F_C → G (M m / R²) = m (v² / R)

Ahora continuaremos de la misma forma que en el principio del problema.